Calcule os limites, caso existam:
\lim _{x \rightarrow 3} \frac{x-4}{x^{2}-2 x-3}

Passo 1

O enunciado pede o limite quando x tende a 3 da função
\frac{x-4}{x^{2}-2x-3}.
Informações relevantes dadas:
  • A função é a razão entre o numerador x-4 e o denominador x^{2}-2x-3.
  • O ponto onde avaliamos o limite é x\to 3.
    O objetivo é determinar se o limite existe (e, se existir, dar o seu valor).

Passo 2

Primeiro tente a substituição direta (teste rápido): calcule numerador e denominador em x=3.
\text{numerador} = 3-4 = -1, \qquad \text{denominador} = 3^{2}-2\cdot3-3 = 9-6-3 = 0.
Como o numerador é -1 (não nulo) e o denominador é 0, a forma é do tipo “número não nulo dividido por zero”, o que indica que a função tende a infinito positivo ou negativo (vertical assíntota) — ou seja, não será um limite finito. Precisamos agora analisar o sinal (o comportamento) ao nos aproximarmos de 3 pela esquerda e pela direita.

Passo 3

Fatore o denominador para ver os fatores que determinam o sinal:
x^{2}-2x-3=(x-3)(x+1).
Portanto a função pode ser vista como
\frac{x-4}{x^{2}-2x-3}=\frac{x-4}{(x-3)(x+1)}.
Essa fatoração nos permite estudar o sinal de cada fator perto de x=3.

Passo 4

Estabeleça sinais dos fatores quando x está próximo de 3:
  • O fator x-4: para x próximo de 3 (tanto vindo da esquerda quanto da direita) temos x-4<0 porque 3-4=-1. Logo o numerador é negativo em ambos os lados de 3.
  • O fator x+1: em x próximo de 3 é positivo (pois 3+1=4>0) e varia pouco; portanto x+1>0 nas vizinhanças de 3.
  • O fator x-3: muda de sinal em x=3: é negativo para x<3 e positivo para x>3.
Assim, o sinal do denominador (x-3)(x+1) é essencialmente o mesmo sinal de x-3 nas proximidades de 3 (porque x+1>0 ali).

Passo 5

Calcule os limites laterais usando a informação de sinais.
Para x\to3^- (pela esquerda):
  • x-4<0 (numerador negativo),
  • x-3<0 e x+1>0 (denominador negativo).
    Logo quociente = (negativo)/(negativo) = positivo e o denominador tende a 0 em magnitude, então a função cresce sem limite positivo:
\lim_{x\to3^-}\frac{x-4}{x^{2}-2x-3}=+\infty.
Para x\to3^+ (pela direita):
  • x-4<0 (numerador negativo),
  • x-3>0 e x+1>0 (denominador positivo).
    Logo quociente = (negativo)/(positivo) = negativo e a magnitude diverge, então a função tende a -\infty:
\lim_{x\to3^+}\frac{x-4}{x^{2}-2x-3}=-\infty.
Uma forma rápida de ver isso é aproximar para x perto de 3:
\frac{x-4}{(x-3)(x+1)}\approx\frac{-1}{4(x-3)}=\frac{-1}{4}\cdot\frac{1}{x-3},
o que mostra diretamente que o sinal troca conforme o sinal de x-3.

Passo 6

Conclusão sobre o limite de duas mãos: como os limites laterais existem mas são diferentes entre si ( +\infty à esquerda e -\infty à direita), o limite geral quando x\to3 não existe (nem como número finito, nem como infinito único).

Resposta

\displaystyle \lim_{x\to3}\frac{x-4}{x^{2}-2x-3} não existe.
\displaystyle \lim_{x\to3^-}\frac{x-4}{x^{2}-2x-3}=+\infty
\displaystyle \lim_{x\to3^+}\frac{x-4}{x^{2}-2x-3}=-\infty

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