Calcule os limites, caso existam:
Passo 1
O enunciado pede o limite quando
tende a
da função
Informações relevantes dadas:
- A função é a razão entre o numerador
e o denominador . - O ponto onde avaliamos o limite é
.
O objetivo é determinar se o limite existe (e, se existir, dar o seu valor).
Passo 2
Primeiro tente a substituição direta (teste rápido): calcule numerador e denominador em
.
Como o numerador é
(não nulo) e o denominador é
, a forma é do tipo “número não nulo dividido por zero”, o que indica que a função tende a infinito positivo ou negativo (vertical assíntota) — ou seja, não será um limite finito. Precisamos agora analisar o sinal (o comportamento) ao nos aproximarmos de
pela esquerda e pela direita.
Passo 3
Fatore o denominador para ver os fatores que determinam o sinal:
Portanto a função pode ser vista como
Essa fatoração nos permite estudar o sinal de cada fator perto de
.
Passo 4
Estabeleça sinais dos fatores quando
está próximo de
:
- O fator
: para próximo de (tanto vindo da esquerda quanto da direita) temos porque . Logo o numerador é negativo em ambos os lados de . - O fator
: em próximo de é positivo (pois ) e varia pouco; portanto nas vizinhanças de . - O fator
: muda de sinal em : é negativo para e positivo para .
Assim, o sinal do denominador
é essencialmente o mesmo sinal de
nas proximidades de
(porque
ali).
Passo 5
Calcule os limites laterais usando a informação de sinais.
Para
(pela esquerda):
-
(numerador negativo), -
e (denominador negativo).
Logo quociente = (negativo)/(negativo) = positivo e o denominador tende aem magnitude, então a função cresce sem limite positivo:
Para
(pela direita):
-
(numerador negativo), -
e (denominador positivo).
Logo quociente = (negativo)/(positivo) = negativo e a magnitude diverge, então a função tende a:
Uma forma rápida de ver isso é aproximar para
perto de
:
o que mostra diretamente que o sinal troca conforme o sinal de
.
Passo 6
Conclusão sobre o limite de duas mãos: como os limites laterais existem mas são diferentes entre si (
à esquerda e
à direita), o limite geral quando
não existe (nem como número finito, nem como infinito único).