Seja
contínua em um intervalo
e sejam
. Seja
uma função com derivada contínua em
, tal que
(a) Seja
uma primitiva de
em
, isto é,
. Escreva
termos de
aplicado no intervalo de integração.
(b) Considere a função composta
. Calcule
usando a regra da cadeia.
(c) Mostre que
(d) Escreva a integral
em termos de
.
(e) Utilize os valores de
e
para reescrever o resultado do item anterior em termos de
e
.
(f) Compare os resultados obtidos nos itens (a) e (e) mostre que
(b) Considere a função composta
(c) Mostre que
(e) Utilize os valores de
(f) Compare os resultados obtidos nos itens (a) e (e) mostre que
Passo 1
O que o enunciado nos dá e o que pede (resumo claro, sem resolver ainda):
-
Dados:
-
é contínua em um intervalo . -
. -
tem derivada contínua em . -
e . -
é uma primitiva de em , isto é, para todo . - Define-se
.
-
-
Perguntas (itens do enunciado):
(a) Escreverem termos de aplicado nos limites de integração.
(b) Calcularusando a regra da cadeia (derivada de ).
(c) Mostrar que.
(d) Escreverem termos de .
(e) Usare para reescrever o resultado do item (d) em termos de e .
(f) Comparar (a) e (e) e concluir que.
Passo 2
(a) Resposta e explicação do Teorema Fundamental do Cálculo: se
é primitiva de
em
(isto é,
para todo
) e
, então a integral definida de
entre
e
é dada por
Explicação didática: a integral definida
mede a área líquida sob a curva
entre
e
. O Teorema Fundamental do Cálculo garante que essa área pode ser obtida por uma primitiva
de
apenas fazendo a diferença dos valores de
nos extremos. Aqui,
e
são valores numéricos (não derivadas) e a diferença
é o valor da integral.
Passo 3
(b) Calcular
usando a regra da cadeia. Começamos de
. Pelo cálculo da derivada de uma composição, escrevemos a diferença incrementada e rearranjamos:
Como
é diferenciável em
(pois
existe) e
é diferenciável em
, ao fazer
cada fator tende ao respectivo derivado:
Multiplicando os limites (produto de limites existe), obtemos a derivada:
Passo 4
(c) Agora usamos a hipótese de que
é primitiva de
, isto é,
para todo
. Substituindo
na igualdade
, obtemos
. Portanto, a expressão do passo anterior fica
Isto mostra explicitamente a igualdade pedida no item (c).
Passo 5
(d) Escrever a integral
em termos de
. Como acabamos de mostrar que
, temos que a integral da função
de
até
é a integral de
no mesmo intervalo. Aplicando o Teorema Fundamental do Cálculo novamente,
Passo 6
(e) Usar os valores de
e
para reescrever
em termos de
e
.
Lembrando que
, temos
Pelo enunciado,
e
. Substituindo,
Passo 7
(f) Comparação final e conclusão. No passo 2 vimos que
No passo 6 obtivemos
Como ambos os integrados são iguais ao mesmo número
, concluímos que
Intuição final (para lembrar na prova): essa igualdade é exatamente a fórmula da substituição em integrais. Se fizer a mudança de variável
, então
e os limites mudam de
para
correspondendo a
e
.