Seja f contínua em um intervalo I e sejam a, b \in I. Seja g:[c, d] \rightarrow I uma função com derivada contínua em [c, d], tal que
g\text{(c)}=a \quad \text { e } \quad g(d)=b
(a) Seja F uma primitiva de f em I, isto é, F^{\prime}(x)=f(x). Escreva \int_{a}^{b} f(x) d x \mathrm{em} termos de F aplicado no intervalo de integração.
(b) Considere a função composta H(u)=F(g(u)). Calcule H^{\prime}(u) usando a regra da cadeia.
(c) Mostre que
H^{\prime}(u)=f(g(u)) g^{\prime}(u)
(d) Escreva a integral
\int_{c}^{d} f(g(u)) g^{\prime}(u) d u
em termos de H.
(e) Utilize os valores de g\text{(c)} e g(d) para reescrever o resultado do item anterior em termos de F(a) e F(b).
(f) Compare os resultados obtidos nos itens (a) e (e) mostre que
\int_{a}^{b} f(x) d x=\int_{c}^{d} f(g(u)) g^{\prime}(u) d u

Passo 1

O que o enunciado nos dá e o que pede (resumo claro, sem resolver ainda):
  • Dados:
    • f é contínua em um intervalo I.
    • a,b\in I.
    • g:[c,d]\to I tem derivada contínua em [c,d].
    • g\text{(c)}=a e g(d)=b.
    • F é uma primitiva de f em I, isto é, F'(x)=f(x) para todo x\in I.
    • Define-se H(u)=F(g(u)).
  • Perguntas (itens do enunciado):
    (a) Escrever \displaystyle \int_{a}^{b} f(x)\,dx em termos de F aplicado nos limites de integração.
    (b) Calcular H'(u) usando a regra da cadeia (derivada de H(u)=F(g(u))).
    (c) Mostrar que H'(u)=f(g(u))\,g'(u).
    (d) Escrever \displaystyle \int_{c}^{d} f(g(u))\,g'(u)\,du em termos de H.
    (e) Usar g\text{(c)}=a e g(d)=b para reescrever o resultado do item (d) em termos de F(a) e F(b).
    (f) Comparar (a) e (e) e concluir que \displaystyle \int_{a}^{b} f(x)\,dx=\int_{c}^{d} f(g(u))\,g'(u)\,du.

Passo 2

(a) Resposta e explicação do Teorema Fundamental do Cálculo: se F é primitiva de f em I (isto é, F'(x)=f(x) para todo x\in I) e a,b\in I, então a integral definida de f entre a e b é dada por
\int_{a}^{b} f(x)\,dx = F(b)-F(a).
Explicação didática: a integral definida \int_{a}^{b} f mede a área líquida sob a curva f entre a e b. O Teorema Fundamental do Cálculo garante que essa área pode ser obtida por uma primitiva F de f apenas fazendo a diferença dos valores de F nos extremos. Aqui, F(b) e F(a) são valores numéricos (não derivadas) e a diferença F(b)-F(a) é o valor da integral.

Passo 3

(b) Calcular H'(u) usando a regra da cadeia. Começamos de H(u)=F(g(u)). Pelo cálculo da derivada de uma composição, escrevemos a diferença incrementada e rearranjamos:
\frac{H(u+h)-H(u)}{h} =\frac{F(g(u+h))-F(g(u))}{h} =\frac{F(g(u+h))-F(g(u))}{g(u+h)-g(u)}\cdot\frac{g(u+h)-g(u)}{h}.
Como F é diferenciável em g(u) (pois F' existe) e g é diferenciável em u, ao fazer h\to0 cada fator tende ao respectivo derivado:
\lim_{h\to0}\frac{F(g(u+h))-F(g(u))}{g(u+h)-g(u)} = F'(g(u)), \qquad \lim_{h\to0}\frac{g(u+h)-g(u)}{h} = g'(u).
Multiplicando os limites (produto de limites existe), obtemos a derivada:
H'(u)=F'(g(u))\,g'(u).

Passo 4

(c) Agora usamos a hipótese de que F é primitiva de f, isto é, F'(x)=f(x) para todo x. Substituindo x=g(u) na igualdade F'(x)=f(x), obtemos F'(g(u))=f(g(u)). Portanto, a expressão do passo anterior fica
H'(u)=f(g(u))\,g'(u).
Isto mostra explicitamente a igualdade pedida no item (c).

Passo 5

(d) Escrever a integral \displaystyle \int_{c}^{d} f(g(u))\,g'(u)\,du em termos de H. Como acabamos de mostrar que H'(u)=f(g(u))\,g'(u), temos que a integral da função f(g(u))\,g'(u) de c até d é a integral de H'(u) no mesmo intervalo. Aplicando o Teorema Fundamental do Cálculo novamente,
\int_{c}^{d} f(g(u))\,g'(u)\,du = \int_{c}^{d} H'(u)\,du = H(d)-H\text{(c)}.

Passo 6

(e) Usar os valores de g\text{(c)} e g(d) para reescrever H(d)-H\text{(c)} em termos de F(a) e F(b).
Lembrando que H(u)=F(g(u)), temos
H(d)-H\text{(c)}=F(g(d)) - F(g\text{(c)}).
Pelo enunciado, g(d)=b e g\text{(c)}=a. Substituindo,
H(d)-H\text{(c)}=F(b)-F(a).

Passo 7

(f) Comparação final e conclusão. No passo 2 vimos que
\int_{a}^{b} f(x)\,dx = F(b)-F(a).
No passo 6 obtivemos
\int_{c}^{d} f(g(u))\,g'(u)\,du = F(b)-F(a).
Como ambos os integrados são iguais ao mesmo número F(b)-F(a), concluímos que
\int_{a}^{b} f(x)\,dx = \int_{c}^{d} f(g(u))\,g'(u)\,du.
Intuição final (para lembrar na prova): essa igualdade é exatamente a fórmula da substituição em integrais. Se fizer a mudança de variável x=g(u), então dx=g'(u)\,du e os limites mudam de u=c para u=d correspondendo a x=a e x=b.

Resposta

\int_{a}^{b} f(x)\,dx = \int_{c}^{d} f(g(u))\,g'(u)\,du

Exercícios relacionados