Determinar os limites abaixo
\lim _{\theta \rightarrow 0^{-}}(1+\operatorname{cosec} \theta)

Passo 1

O enunciado pede o limite lateral \displaystyle \lim_{\theta\to0^-}\bigl(1+\operatorname{cosec}\theta\bigr).
O conteúdo é limites de funções trigonométricas, em especial o comportamento de \operatorname{cosec}\theta quando \theta se aproxima de zero pela esquerda.

Passo 2

Lembramos que \operatorname{cosec}\theta = \frac{1}{\sin\theta}.
Portanto
1 + \operatorname{cosec}\theta \;=\; 1 + \frac{1}{\sin\theta}.

Passo 3

Quando \theta\to0^-, temos \sin\theta\to0^-. Como o denominador tende a zero negativo,
\frac{1}{\sin\theta}\;\longrightarrow\;-\,\infty.

Passo 4

Logo
1 + \frac{1}{\sin\theta}\;\longrightarrow\;-\,\infty,
pois somar 1 a algo que vai a -\infty mantém o resultado em -\infty.

Resposta

\lim_{\theta\to0^-}\bigl(1+\operatorname{cosec}\theta\bigr) = -\infty.

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