Considere a função z=\sqrt{y}+f(\sqrt{x}-1). Nestas condições, determinar as expressões das funções f e z, se z=\sqrt{1+y^{2}}, quando x=1.

Passo 1

O enunciado dá a função de duas variáveis
z(x,y)=\sqrt{y}+f\bigl(\sqrt{x}-1\bigr)
e impõe a condição
z(1,y)=\sqrt{1+y^{2}} \quad\text{para todo \(y\).}
Queremos achar f (função de uma variável) e a expressão completa de z.

Passo 2

Ao substituir x=1 na definição de z, temos
\sqrt{x}-1=\sqrt{1}-1=0
e portanto
z(1,y)=\sqrt{y}+f(0).

Passo 3

A condição exige
z(1,y)=\sqrt{1+y^{2}} \quad\Longrightarrow\quad \sqrt{y}+f(0)=\sqrt{1+y^{2}}
para todo y.

Passo 4

No lado esquerdo \sqrt{y}+f(0) temos uma soma de \sqrt{y} com a constante f(0). No lado direito \sqrt{1+y^{2}} depende não só de \sqrt{y}, mas de y de forma diferente. Para que
\sqrt{y}+f(0)\equiv \sqrt{1+y^{2}}
valha para todo y, seria preciso que a diferença \sqrt{1+y^{2}}-\sqrt{y} fosse constante. Mas essa diferença varia com y, de modo que não existe valor fixo de f(0) que a resolva para todos os y.

Resposta

Não existe função f que torne válida a igualdade z(1,y)=\sqrt{1+y^{2}} para todo y, logo não é possível determinar f nem a expressão de z que satisfaça as condições dadas.

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