Determinar os limites indicados a seguir:
\lim _{\substack{x \rightarrow 0 \\\ y \rightarrow 0}}\left(\frac{x}{x+y}\right)

Passo 1

O enunciado pede o limite de uma função de duas variáveis
f(x,y)=\frac{x}{x+y}
quando (x,y)\to(0,0). Para verificar se esse limite existe, precisamos checar se o valor de f(x,y) ao nos aproximarmos de (0,0) independe do caminho seguido.

Passo 2

Aproximando por y=0:
f(x,0)=\frac{x}{x+0}=1\quad\text{para }x\neq0.
Ao fazermos x\to0 mantendo y=0, o valor de f(x,y) tende a
\lim_{x\to0}f(x,0)=1.

Passo 3

Aproximando por x=0:
f(0,y)=\frac{0}{0+y}=0\quad\text{para }y\neq0.
Ao fazermos y\to0 mantendo x=0, o valor de f(x,y) tende a
\lim_{y\to0}f(0,y)=0.

Passo 4

Como ao nos aproximarmos de (0,0) por diferentes caminhos obtemos valores distintos (1 e 0), concluímos que o limite não existe.

Resposta

O limite \displaystyle\lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{x}{x+y} não existe.

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