Determinar a distância entre o ponto P e a reta r, nos seguintes casos: \mathrm{P}=(1,-1,0) e r: \left\{\begin{array}{l}2 \mathrm{x}-\mathrm{y}+\mathrm{z}=0 \\\\ 3 \mathrm{x}+\mathrm{y}-2 \mathrm{z}+1=0\end{array}\right.
Passo 1
O enunciado pede a distância do ponto P=(1,-1,0)\) até a reta \(r\) definida como interseção de duas planas
\[\begin{cases} 2x - y + z = 0,\\\\ 3x + y - 2z + 1 = 0.
O conteúdo envolve geometria analítica no espaço e a fórmula de distância ponto–reta, que usa o vetor diretor da reta e um vetor ligando um ponto da reta a (P].
Passo 2
Para achar o vetor diretor \mathbf{d} de r, tomamos os vetores normais das planas
Precisamos de um ponto A\) na reta \(r\). Basta resolver o sistema impondo, por exemplo, \(z=0\):
\[\begin{cases} 2x - y = 0,\\\\ 3x + y + 1 = 0. \end{cases}
Da primeira equação y=2x\]. Substituindo na segunda: \(3x + 2x +1=0\implies x=-\tfrac{1}{5}, logo y=-\tfrac{2}{5}.