Determinar a distância entre o ponto P e a reta r, nos seguintes casos:
\mathrm{P}=(1,-1,0) e r: \left\{\begin{array}{l}2 \mathrm{x}-\mathrm{y}+\mathrm{z}=0 \\\\ 3 \mathrm{x}+\mathrm{y}-2 \mathrm{z}+1=0\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado pede a distância do ponto P=(1,-1,0)\) até a reta \(r\) definida como interseção de duas planas \[\begin{cases} 2x - y + z = 0,\\\\ 3x + y - 2z + 1 = 0.
O conteúdo envolve geometria analítica no espaço e a fórmula de distância ponto–reta, que usa o vetor diretor da reta e um vetor ligando um ponto da reta a (P].

Passo 2

Para achar o vetor diretor \mathbf{d} de r, tomamos os vetores normais das planas
\mathbf{n}_1 = (2,-1,1), \quad \mathbf{n}_2 = (3,1,-2),
e fazemos o produto vetorial
\mathbf{d} = \mathbf{n}_1 \times \mathbf{n}_2 = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\\\ 2 & -1 & 1 \\\\ 3 & 1 & -2 \end{vmatrix} = (1,7,5).

Passo 3

Precisamos de um ponto A\) na reta \(r\). Basta resolver o sistema impondo, por exemplo, \(z=0\): \[\begin{cases} 2x - y = 0,\\\\ 3x + y + 1 = 0. \end{cases}
Da primeira equação y=2x\]. Substituindo na segunda: \(3x + 2x +1=0\implies x=-\tfrac{1}{5}, logo y=-\tfrac{2}{5}.
Portanto
A = \Bigl(-\tfrac{1}{5}, -\tfrac{2}{5}, 0\Bigr).

Passo 4

Formamos o vetor \overrightarrow{AP} = P - A:
\overrightarrow{AP} = \bigl(1 + \tfrac{1}{5},\, -1 + \tfrac{2}{5},\, 0 - 0\bigr) = \Bigl(\tfrac{6}{5}, -\tfrac{3}{5}, 0\Bigr).

Passo 5

A fórmula da distância é
d = \frac{\bigl\|\overrightarrow{AP} \times \mathbf{d}\bigr\|}{\|\mathbf{d}\|}.
Calculando o produto vetorial:
\overrightarrow{AP} \times \mathbf{d} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\\ \tfrac{6}{5} & -\tfrac{3}{5} & 0 \\\\ 1 & 7 & 5 \end{vmatrix} = (-3,\,-6,\,9).
Então
\bigl\|\overrightarrow{AP} \times \mathbf{d}\bigr\| = \sqrt{(-3)^2 + (-6)^2 + 9^2} = 3\sqrt{14},
e
\|\mathbf{d}\| = \sqrt{1^2 + 7^2 + 5^2} = \sqrt{75} = 5\sqrt{3}.
Logo
d = \frac{3\sqrt{14}}{5\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{42}}{5}.

Resposta

\frac{\sqrt{42}}{5}.

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