Determinar m , sabendo-se ortogonais os vetores: u=3 i+m j+k e v=i-2 j-k

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o enunciado está pedindo. Temos dois vetores, u=3 i+m j+k e v=i-2 j-k, e precisamos encontrar o valor de m que torna esses vetores ortogonais. Estamos trabalhando com álgebra vetorial, especificamente com o conceito de ortogonalidade entre vetores.

Passo 2

Dois vetores são ortogonais quando o produto escalar deles é igual a zero. O produto escalar, também conhecido como produto interno, é uma maneira de multiplicar dois vetores e obter um número (escalar) como resultado. A fórmula para o produto escalar de dois vetores a=a1i+a2j+a3k e b=b1i+b2j+b3k é:
a cdot b = a1b1 + a2b2 + a3b3

Passo 3

Aplicando isso aos nossos vetores u e v, temos:
u cdot v = (3)(1) + (m)(-2) + (1)(-1)

Passo 4

Calculando cada termo:
  • (3)(1) = 3
  • (m)(-2) = -2m
  • (1)(-1) = -1
Então:
u cdot v = 3 - 2m - 1

Passo 5

Simplificando a expressão:
3 - 1 = 2
Portanto:
u cdot v = 2 - 2m

Passo 6

Como os vetores são ortogonais, o produto escalar deve ser igual a zero:
2 - 2m = 0

Passo 7

Agora, resolvemos a equação para encontrar o valor de m:
2 - 2m = 0 -2m = -2 m = 1

Resposta

O valor de m que torna os vetores ortogonais é m = 1.

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