Um vetor A de 10 unidades de comprimento faz um ângulo de 30^circ com o vetor B de 6 unidades de comprimento. Ache o módulo da diferença A-B e o ângulo que ele faz com o vetor A :
a) Pelo método do paralelogramo;
b) pela decomposição retangular

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem dois vetores: o vetor A tem 10 unidades de comprimento e faz um ângulo de 30^circ com o vetor B, que tem 6 unidades de comprimento. A gente precisa descobrir duas coisas:
  1. O módulo da diferença A - B.
  2. O ângulo que essa diferença faz com o vetor A.
Vamos resolver isso de duas maneiras diferentes:
a) Usando o método do paralelogramo.
b) Usando a decomposição retangular.
Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre operações com vetores, trigonometria e como aplicar essas técnicas na prática.

Passo 2

a) Método do Paralelogramo
Primeiro, vamos lembrar o que é o método do paralelogramo. Quando a gente quer subtrair dois vetores, A - B, isso é equivalente a somar o vetor A com o vetor -B. No método do paralelogramo, a gente desenha os dois vetores de forma que eles formem um paralelogramo, e a diferença será uma das diagonais desse paralelogramo.

Passo 3

Para encontrar o módulo da diferença A - B usando o método do paralelogramo, usamos a seguinte fórmula:
|A - B| = raiz|A|^2 + |B|^2 - 2|A||B|cos(theta)
Aqui, theta é o ângulo entre os vetores A e B, que é 30^circ.

Passo 4

Vamos substituir os valores na fórmula:
|A - B| = raiz10^2 + 6^2 - 2 times 10 times 6 times cos(30^circ)
Primeiro, vamos calcular cos(30^circ). Sabemos que cos(30^circ) = raiz32.

Passo 5

Agora, substituindo cos(30^circ):
|A - B| = raiz100 + 36 - 2 times 10 times 6 times raiz32
Simplificando:
|A - B| = raiz136 - 60raiz3

Passo 6

Vamos calcular o valor numérico:
60raiz3 approx 60 times 1.732 = 103.92
Então:
|A - B| approx raiz136 - 103.92 = raiz32.08 approx 5.67

Passo 7

Agora, para encontrar o ângulo que a diferença A - B faz com o vetor A, usamos a seguinte fórmula:
cos(phi) = |A|^2 + |A - B|^2 - |B|^22|A||A - B|
Onde phi é o ângulo entre A e A - B.

Passo 8

Substituindo os valores que já conhecemos:
cos(phi) = 10^2 + 5.67^2 - 6^22 times 10 times 5.67
Calculando:
cos(phi) = 100 + 32.11 - 36113.4 = 96.11113.4 approx 0.848

Passo 9

Agora, para encontrar phi, tiramos o arco cosseno:
phi = arccos(0.848) approx 32.3^circ

Passo 10

b) Decomposição Retangular
Agora, vamos resolver pela decomposição retangular. Nesse método, a gente decompõe os vetores em suas componentes horizontais e verticais, faz a subtração componente a componente e depois encontra o módulo e o ângulo da diferença.

Passo 11

Primeiro, vamos decompor os vetores A e B nas direções horizontal (x) e vertical (y):
Para o vetor A:
Ax = |A| cos(theta) = 10 cos(30^circ) = 10 times raiz32 approx 8.66
Ay = |A| sin(theta) = 10 sin(30^circ) = 10 times 0.5 = 5
Para o vetor B, como não foi especificado o ângulo, vamos assumir que ele está na direção horizontal para simplificar (ou seja, By = 0):
Bx = 6
By = 0

Passo 12

Agora, vamos calcular as componentes da diferença A - B:
(A - B)x = Ax - Bx = 8.66 - 6 = 2.66
(A - B)y = Ay - By = 5 - 0 = 5

Passo 13

Com as componentes da diferença, podemos encontrar o módulo usando o Teorema de Pitágoras:
|A - B| = raiz(2.66)^2 + (5)^2 approx raiz7.07 + 25 = raiz32.07 approx 5.66

Passo 14

Para encontrar o ângulo que A - B faz com o vetor A, usamos a tangente:
tan(phi) = (A - B)y(A - B)x = 52.66 approx 1.88
phi = arctan(1.88) approx 62.3^circ

Resposta

a) Pelo método do paralelogramo, o módulo da diferença A - B é aproximadamente 5.67 unidades e o ângulo que ela faz com o vetor A é de aproximadamente 32.3°.
b) Pela decomposição retangular, o módulo da diferença A - B é aproximadamente 5.66 unidades e o ângulo que ela faz com o vetor A é de aproximadamente 62.3°.

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