Um vetor
de 10 unidades de comprimento faz um ângulo de
com o vetor
de 6 unidades de comprimento. Ache o módulo da diferença
e o ângulo que ele faz com o vetor
:
a) Pelo método do paralelogramo;
b) pela decomposição retangular
a) Pelo método do paralelogramo;
b) pela decomposição retangular
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem dois vetores: o vetor
tem 10 unidades de comprimento e faz um ângulo de
com o vetor
, que tem 6 unidades de comprimento. A gente precisa descobrir duas coisas:
- O módulo da diferença
. - O ângulo que essa diferença faz com o vetor
.
Vamos resolver isso de duas maneiras diferentes:
a) Usando o método do paralelogramo.
b) Usando a decomposição retangular.
a) Usando o método do paralelogramo.
b) Usando a decomposição retangular.
Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre operações com vetores, trigonometria e como aplicar essas técnicas na prática.
Passo 2
a) Método do Paralelogramo
Primeiro, vamos lembrar o que é o método do paralelogramo. Quando a gente quer subtrair dois vetores,
, isso é equivalente a somar o vetor
com o vetor
. No método do paralelogramo, a gente desenha os dois vetores de forma que eles formem um paralelogramo, e a diferença será uma das diagonais desse paralelogramo.
Passo 3
Para encontrar o módulo da diferença
usando o método do paralelogramo, usamos a seguinte fórmula:
Aqui,
é o ângulo entre os vetores
e
, que é
.
Passo 4
Vamos substituir os valores na fórmula:
Primeiro, vamos calcular
. Sabemos que
.
Passo 5
Agora, substituindo
:
Simplificando:
Passo 6
Vamos calcular o valor numérico:
Então:
Passo 7
Agora, para encontrar o ângulo que a diferença
faz com o vetor
, usamos a seguinte fórmula:
Onde
é o ângulo entre
e
.
Passo 8
Substituindo os valores que já conhecemos:
Calculando:
Passo 9
Agora, para encontrar
, tiramos o arco cosseno:
Passo 10
b) Decomposição Retangular
Agora, vamos resolver pela decomposição retangular. Nesse método, a gente decompõe os vetores em suas componentes horizontais e verticais, faz a subtração componente a componente e depois encontra o módulo e o ângulo da diferença.
Passo 11
Primeiro, vamos decompor os vetores
e
nas direções horizontal (x) e vertical (y):
Para o vetor
:
Para o vetor
, como não foi especificado o ângulo, vamos assumir que ele está na direção horizontal para simplificar (ou seja,
):
Passo 12
Agora, vamos calcular as componentes da diferença
:
Passo 13
Com as componentes da diferença, podemos encontrar o módulo usando o Teorema de Pitágoras:
Passo 14
Para encontrar o ângulo que
faz com o vetor
, usamos a tangente:
Resposta
a) Pelo método do paralelogramo, o módulo da diferença
é aproximadamente 5.67 unidades e o ângulo que ela faz com o vetor
é de aproximadamente 32.3°.
b) Pela decomposição retangular, o módulo da diferença
é aproximadamente 5.66 unidades e o ângulo que ela faz com o vetor
é de aproximadamente 62.3°.