Determinar a matriz canônica de S o T e mostrar que ela é produto da matriz canônica de S pela matriz canônica de T.
As transformações S: I R^{2} \rightarrow I R^{3} e T: I R^{3} \rightarrow I R^{2} são tais que S(x, y)=(y, x-y, 2 x+2 y) e T(x, y, z)=(x, y).
a) Sendo B=\{(1,0,-1),(1,1,1),(1,0,0)\} uma base do I R^{3}, determinar a matriz [S \text { o } T]_{B}.
Passo 1
O que o enunciado pede: determinar a matriz de S\circ T relativa à base B de \mathbb{R}^3, ou seja, encontrar [S\circ T]_B.
Informações dadas:
S:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^3 definida por S(x,y)=(y,\;x-y,\;2x+2y).
T:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^2 definida por T(x,y,z)=(x,y).
A base B de \mathbb{R}^3 é B=\{b_1,b_2,b_3\} com b_1=(1,0,-1), b_2=(1,1,1), b_3=(1,0,0).
Queremos a matriz da aplicação S\circ T:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3 relativamente à base B tanto no domínio quanto no contradomínio.
Passo 2
Método (explicação didática): para obter [S\circ T]_B fazemos o seguinte para cada vetor da base b_j:
Calcular T(b_j)\in\mathbb{R}^2.
Calcular S\big(T(b_j)\big)\in\mathbb{R}^3.
Expressar S\big(T(b_j)\big) como combinação linear dos vetores da base B:
S\big(T(b_j)\big)=c_{1j}b_1+c_{2j}b_2+c_{3j}b_3.
Os coeficientes (c_{1j},c_{2j},c_{3j})^T formam a j-ésima coluna de [S\circ T]_B.
Observação sobre coordenadas: ao escrever um vetor v como combinação v=c_1b_1+c_2b_2+c_3b_3, podemos igualar componentes e resolver um sistema linear para encontrar c_1,c_2,c_3. Vou fazer isso passo a passo para cada b_j.
Passo 3
Calcular para b_1=(1,0,-1)\):
- Primeiro \(T(b_1)= (1,0)\) (pegamos as duas primeiras componentes de \(b_1\)).
- Depois \(S(1,0)=\big(0,\;1-0,\;2\cdot1+2\cdot0\big)= (0,1,2)\).
Agora escrevemos
\[(0,1,2)=c_1(1,0,-1)+c_2(1,1,1)+c_3(1,0,0).
Da segunda equação c_2=1\]. Da terceira \(-c_1+1=2 então c_1=-1. Da primeira -1+1+c_3=0 então c_3=0.
Logo as coordenadas de S(T(b_1)) na base B são (-1,\,1,\,0)^T. Esta é a primeira coluna de [S\circ T]_B.]
Passo 4
Calcular para b_2=(1,1,1)\):
- Primeiro \(T(b_2)=(1,1)\).
- Depois \(S(1,1)=\big(1,\;1-1,\;2\cdot1+2\cdot1\big)=(1,0,4)\).
Escrever
\[(1,0,4)=c_1(1,0,-1)+c_2(1,1,1)+c_3(1,0,0)
Da segunda equação c_2=0\]. Da terceira \(-c_1+0=4 logo c_1=-4. Da primeira -4+0+c_3=1 então c_3=5.
Assim as coordenadas de S(T(b_2)) na base B são (-4,\,0,\,5)^T. Esta é a segunda coluna.]
Passo 5
Calcular para b_3=(1,0,0):
Primeiro T(b_3)=(1,0).
Depois S(1,0) já calculado no Passo 3 é (0,1,2).
Portanto o sistema e a solução são os mesmos do Passo 3, dando coordenadas (-1,\,1,\,0)^T. Esta é a terceira coluna.
Passo 6
Montar a matriz cujas colunas são as coordenadas encontradas: