Q12: Sejam
Calcule
, a projeção ortogonal de
sobre
.
O valor de
, a
entrada de
, é:
Dica: Projete
em
. Procure entender por que isto é mais fácil.
(A) 1
(B) 2
(C) 3
(D) 4
(E) 5
(F) 6
O valor de
Dica: Projete
(A) 1
(B) 2
(C) 3
(D) 4
(E) 5
(F) 6
Passo 1
O enunciado dá o vetor
e o subespaço
Pede para calcular
, a projeção ortogonal de
sobre
, e em particular o valor da terceira entrada
de
. As informações relevantes são portanto
e a equação da hipersuperfície que define
.
Passo 2
Ideia prática (dica do enunciado): é mais fácil projetar
em
e subtrair dessa projeção para obter a projeção em
. Isso porque
é o conjunto de vetores ortogonais a um único vetor normal, logo
é a reta gerada por esse vetor normal (dimensão 1). Projetar em uma reta é simples: basta usar a fórmula da projeção ortogonal em uma linha.
Passo 3
Identificamos o vetor normal
de
lendo a equação
. Assim
porque os coeficientes de
formam o vetor normal.
Passo 4
Fórmula da projeção de
sobre a reta gerada por
(projeção em
):
Aqui
é o produto escalar (somatório dos produtos das componentes) e
é o quadrado da norma de
. Depois a projeção em
é
porque
se decompõe em componente em
mais componente em
.
Passo 5
Calculamos o produto escalar
.
Agora as somas:
Somando tudo:
Passo 6
Calculamos
:
Passo 7
O escalar da projeção é
Interpretação: a componente de
na direção de
vale
vezes
.
Passo 8
Logo
Passo 9
Agora a projeção em
é
Subtraindo componente a componente:
Portanto
.
Passo 10
A terceira entrada é
. Comparando com as opções dadas, isso corresponde à opção (E).
Resposta
(E) 5