Q12: Sejam \vec{v}=(-22,3,-4,-5) \mathrm{e}
H=\left\{(x, y, z, w) \in \mathbb{R}^{4} \mid x-2 y+3 z+w=0\right\} .
Calcule \vec{w}=P_{H} \vec{v}, a projeção ortogonal de \vec{v} sobre H.
O valor de w_{3}, a 3^{\mathrm{a}} entrada de \vec{w}, é:
Dica: Projete \vec{v} em H^{\perp}. Procure entender por que isto é mais fácil.
(A) 1
(B) 2
(C) 3
(D) 4
(E) 5
(F) 6

Passo 1

O enunciado dá o vetor \vec{v}=(-22,3,-4,-5) e o subespaço
H=\{(x,y,z,w)\in\mathbb{R}^4 \mid x-2y+3z+w=0\}.
Pede para calcular \vec{w}=P_{H}\vec{v}, a projeção ortogonal de \vec{v} sobre H, e em particular o valor da terceira entrada w_{3} de \vec{w}. As informações relevantes são portanto \vec{v} e a equação da hipersuperfície que define H.

Passo 2

Ideia prática (dica do enunciado): é mais fácil projetar \vec{v} em H^{\perp} e subtrair dessa projeção para obter a projeção em H. Isso porque H é o conjunto de vetores ortogonais a um único vetor normal, logo H^{\perp} é a reta gerada por esse vetor normal (dimensão 1). Projetar em uma reta é simples: basta usar a fórmula da projeção ortogonal em uma linha.

Passo 3

Identificamos o vetor normal \vec{n} de H lendo a equação x-2y+3z+w=0. Assim
\vec{n}=(1,-2,3,1),
porque os coeficientes de x,y,z,w formam o vetor normal.

Passo 4

Fórmula da projeção de \vec{v} sobre a reta gerada por \vec{n} (projeção em H^{\perp}):
\operatorname{proj}_{\vec{n}}\vec{v}=\frac{\vec{v}\cdot\vec{n}}{\vec{n}\cdot\vec{n}}\;\vec{n}.
Aqui \vec{v}\cdot\vec{n} é o produto escalar (somatório dos produtos das componentes) e \vec{n}\cdot\vec{n}=\|\vec{n}\|^2 é o quadrado da norma de \vec{n}. Depois a projeção em H é
\vec{w}=P_H\vec{v}=\vec{v}-\operatorname{proj}_{\vec{n}}\vec{v},
porque \vec{v} se decompõe em componente em H mais componente em H^{\perp}.

Passo 5

Calculamos o produto escalar \vec{v}\cdot\vec{n}.
\vec{v}\cdot\vec{n}=(-22)\cdot 1 + 3\cdot(-2) + (-4)\cdot 3 + (-5)\cdot 1.
Agora as somas:
(-22)\cdot 1 = -22,
3\cdot(-2) = -6,
(-4)\cdot 3 = -12,
(-5)\cdot 1 = -5.
Somando tudo:
\vec{v}\cdot\vec{n} = -22 -6 -12 -5 = -45.

Passo 6

Calculamos \vec{n}\cdot\vec{n}=\|\vec{n}\|^2:
\vec{n}\cdot\vec{n}=1^2+(-2)^2+3^2+1^2 = 1+4+9+1 = 15.

Passo 7

O escalar da projeção é
\frac{\vec{v}\cdot\vec{n}}{\vec{n}\cdot\vec{n}}=\frac{-45}{15}=-3.
Interpretação: a componente de \vec{v} na direção de \vec{n} vale -3 vezes \vec{n}.

Passo 8

Logo
\operatorname{proj}_{\vec{n}}\vec{v} = -3\vec{n} = -3\cdot(1,-2,3,1)=(-3,6,-9,-3).

Passo 9

Agora a projeção em H é
\vec{w}=\vec{v}-\operatorname{proj}_{\vec{n}}\vec{v}
\vec{w}=(-22,3,-4,-5)-(-3,6,-9,-3).
Subtraindo componente a componente:
w_{1} = -22 - (-3) = -22+3 = -19,
w_{2} = 3 - 6 = -3,
w_{3} = -4 - (-9) = -4+9 = 5,
w_{4} = -5 - (-3) = -5+3 = -2.
Portanto \vec{w}=(-19,-3,5,-2).

Passo 10

A terceira entrada é \,w_{3}=5. Comparando com as opções dadas, isso corresponde à opção (E).

Resposta

(E) 5

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