Q11: Considere o subespaço
definido por:
. Qual dos conjuntos abaixo é base de
(complemento ortogonal de
)?
(A)
(B)
(A)
(B)
Passo 1
O enunciado pede: dentre as alternativas dadas, qual conjunto é uma base de
, onde
Informações dadas:
Alternativas:
(A)
(B)
Alternativas:
(A)
(B)
Passo 2
O que significa
? Vou explicar devagar: um vetor
pertence a
se e somente se ele é ortogonal a todo vetor de
. A ortogonalidade usa o produto interno canônico:
Assim, para achar
eu preciso achar todos os
tais que
,
e
. Isso vira um sistema linear que vamos resolver.
Passo 3
Primeiro simplificamos
: é comum que os vetores geradores sejam linearmente dependentes. Vou verificar se
é combinação linear de
e
.
Procuramos escalares tais que
. Escrevendo coordenadas:
Procuramos escalares
Das coordenadas:
dá
. Com
, a segunda coordenada dá
então
. A quarta coordenada também confere:
. Logo
ou seja,
é dependente de
. Portanto
e basta exigir ortogonalidade a
e
. Observação útil: como
e
são linearmente independentes (não são múltiplos um do outro),
. Assim
. Conclusão prática: uma base de
precisa ter exatamente 2 vetores linearmente independentes.
Passo 4
Agora montamos o sistema para
ortogonal a
:
Temos então o sistema linear
Vou resolver passo a passo: da primeira equação vem
. Igualando as duas expressões para
,
Não há equação envolvendo
, então
é livre. Introduzo parâmetros: deixe
e
. Então
Passo 5
A partir da forma geral, vemos que
Esses dois vetores são claramente linearmente independentes (o segundo tem componente
não-nula enquanto o primeiro tem
), então formam uma base de
. Lembre-se: já esperávamos dimensão 2, e aqui temos exatamente 2 vetores que geram todo
.
Passo 6
Agora verifico as alternativas. Começo checando se os vetores propostos pertencem a
(ou seja, se são ortogonais a
e
) e se o conjunto tem cardinalidade / independência correta.
Verificação do vetor na (A):
.
Calculo
Calculo
Logo . Mas
tem dimensão 2, então um único vetor não pode formar base de todo
. Portanto a alternativa (A) não é uma base.
Calculo
Calculo
Logo
Passo 7
Verificação da alternativa (B): tem dois vetores
e
.
Já vimos que . Agora testamos
.
Calculo
Portanto . Se um dos vetores do conjunto não pertence a
, o conjunto não pode ser base de
. Assim a alternativa (B) também não é uma base de
.
Já vimos que
Calculo
Portanto
Passo 8
Conclusão e observação final: nem (A) nem (B) é base de
. A base correta (uma opção simples) é, por exemplo,
,
mas isso não consta entre as alternativas. Respira fundo: encontramos a dimensão correta e a base explícita — isso é o que cai na prova.
mas isso não consta entre as alternativas. Respira fundo: encontramos a dimensão correta e a base explícita — isso é o que cai na prova.
Resposta
Nenhuma das alternativas.