Q11: Considere o subespaço H \subset \mathbb{R}^{4} definido por:
H=\operatorname{span}\{(-3,1,0,0),(0,-1,0,3),(12,-6,0,6)\}. Qual dos conjuntos abaixo é base de H^{\perp} (complemento ortogonal de H )?
(A) \{(3,9,4,3)\}
(B) \{(3,9,4,3),(3,3,-4,3)\}

Passo 1

O enunciado pede: dentre as alternativas dadas, qual conjunto é uma base de H^{\perp}, onde
H=\operatorname{span}\{(-3,1,0,0),\;(0,-1,0,3),\;(12,-6,0,6)\}.
Informações dadas:
\;v_1=(-3,1,0,0),\;v_2=(0,-1,0,3),\;v_3=(12,-6,0,6).
Alternativas:
(A) \{(3,9,4,3)\}
(B) \{(3,9,4,3),\,(3,3,-4,3)\}

Passo 2

O que significa H^{\perp}? Vou explicar devagar: um vetor x=(x_1,x_2,x_3,x_4)\in\mathbb{R}^4 pertence a H^{\perp} se e somente se ele é ortogonal a todo vetor de H. A ortogonalidade usa o produto interno canônico:
x\cdot y = x_1y_1+x_2y_2+x_3y_3+x_4y_4.
Assim, para achar H^{\perp} eu preciso achar todos os x tais que x\cdot v_1=0, x\cdot v_2=0 e x\cdot v_3=0. Isso vira um sistema linear que vamos resolver.

Passo 3

Primeiro simplificamos H: é comum que os vetores geradores sejam linearmente dependentes. Vou verificar se v_3 é combinação linear de v_1 e v_2.
Procuramos escalares a,b tais que a v_1 + b v_2 = v_3. Escrevendo coordenadas:
a(-3,1,0,0)+b(0,-1,0,3) = (12,-6,0,6).
Das coordenadas: -3a=12 a=-4. Com a=-4, a segunda coordenada dá -4 - b = -6 então b=2. A quarta coordenada também confere: 3b=6. Logo
v_3 = -4 v_1 + 2 v_2,
ou seja, v_3 é dependente de v_1,v_2. Portanto
H=\operatorname{span}\{v_1,v_2\},
e basta exigir ortogonalidade a v_1 e v_2. Observação útil: como v_1 e v_2 são linearmente independentes (não são múltiplos um do outro), \dim H=2. Assim \dim H^{\perp}=4-2=2. Conclusão prática: uma base de H^{\perp} precisa ter exatamente 2 vetores linearmente independentes.

Passo 4

Agora montamos o sistema para x=(x_1,x_2,x_3,x_4)\in H^{\perp}\): ortogonal a \(v_1\): \[x\cdot v_1 = (-3)x_1 + 1\cdot x_2 + 0\cdot x_3 + 0\cdot x_4 = -3x_1 + x_2 = 0.
ortogonal a v_2:
x\cdot v_2 = 0\cdot x_1 + (-1)x_2 + 0\cdot x_3 + 3 x_4 = -x_2 + 3x_4 = 0.
Temos então o sistema linear
\begin{cases} -3x_1 + x_2 = 0,\\[4pt] -x_2 + 3x_4 = 0. \end{cases}
Vou resolver passo a passo: da primeira equação vem x_2 = 3x_1\]. Da segunda vem \(x_2 = 3x_4. Igualando as duas expressões para x_2,
3x_1 = 3x_4 \quad\Rightarrow\quad x_1 = x_4.
Não há equação envolvendo x_3, então x_3 é livre. Introduzo parâmetros: deixe t=x_1=x_4 e s=x_3. Então
x = (x_1,x_2,x_3,x_4) = (t,3t,s,t) = t(1,3,0,1) + s(0,0,1,0).]

Passo 5

A partir da forma geral, vemos que
H^{\perp} = \operatorname{span}\{(1,3,0,1),\;(0,0,1,0)\}.
Esses dois vetores são claramente linearmente independentes (o segundo tem componente x_3 não-nula enquanto o primeiro tem x_3=0), então formam uma base de H^{\perp}. Lembre-se: já esperávamos dimensão 2, e aqui temos exatamente 2 vetores que geram todo H^{\perp}.

Passo 6

Agora verifico as alternativas. Começo checando se os vetores propostos pertencem a H^{\perp} (ou seja, se são ortogonais a v_1 e v_2) e se o conjunto tem cardinalidade / independência correta.
Verificação do vetor na (A): u=(3,9,4,3).
Calculo u\cdot v_1 = -3\cdot 3 + 1\cdot 9 + 0 + 0 = -9 + 9 = 0.
Calculo u\cdot v_2 = 0\cdot 3 + (-1)\cdot 9 + 0 + 3\cdot 3 = -9 + 9 = 0.
Logo u\in H^{\perp}. Mas H^{\perp} tem dimensão 2, então um único vetor não pode formar base de todo H^{\perp}. Portanto a alternativa (A) não é uma base.

Passo 7

Verificação da alternativa (B): tem dois vetores
u_1=(3,9,4,3) e u_2=(3,3,-4,3).
Já vimos que u_1\in H^{\perp}. Agora testamos u_2.
Calculo u_2\cdot v_1 = -3\cdot 3 + 1\cdot 3 + 0 + 0 = -9 + 3 = -6 \neq 0.
Portanto u_2\notin H^{\perp}. Se um dos vetores do conjunto não pertence a H^{\perp}, o conjunto não pode ser base de H^{\perp}. Assim a alternativa (B) também não é uma base de H^{\perp}.

Passo 8

Conclusão e observação final: nem (A) nem (B) é base de H^{\perp}. A base correta (uma opção simples) é, por exemplo,
\{(1,3,0,1),\,(0,0,1,0)\},
mas isso não consta entre as alternativas. Respira fundo: encontramos a dimensão correta e a base explícita — isso é o que cai na prova.

Resposta

Nenhuma das alternativas.

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