Determinar o menor número ao qual faltam 7 unidades para que seja divisível por 120 e 180:
a) 353
b) 360
c) 367
d) 380
e) 390
a) 353
b) 360
c) 367
d) 380
e) 390
Passo 1
O enunciado pede: encontrar o menor número ao qual faltam
unidades para que ele seja divisível por
e por
. Ou seja, acharmos o menor inteiro
tal que
é divisível por
e por
. As alternativas dadas são:
a)
b)
c)
d)
e)
a)
b)
c)
d)
e)
Passo 2
Interpretação matemática clara do pedido: se
é divisível por
e por
, então
é um múltiplo comum de
e
. Para obter o menor
positivo (ou o menor inteiro não negativo, conforme o contexto), devemos usar o menor múltiplo comum (MMC, também chamado de LCM em inglês) de
e
. Em símbolos: queremos o menor
tal que exista um inteiro
com
O menor valor possível ocorre tomando
, então
.
Passo 3
Vamos calcular
via fatoração em primos (método seguro e direto).
Fatorando :
Fatorando
logo já temos três fatores
. E
. Assim
Fatorando
:
logo dois fatores
. E
. Assim
Passo 4
Regra do MMC pela fatoração: para cada primo, tomamos a maior potência que aparece nas duas fatorações. Comparando as potências:
- para
: máximos expoente é (vem de ), então usamos ; - para
: máximo expoente é (vem de ), então usamos ; - para
: máximo expoente é (presente em ambas), então usamos .
Portanto
Passo 5
Calculemos o produto passo a passo para não depender de calculadora:
Multiplicando:
e
Logo
Passo 6
Agora voltamos ao
. O menor
que satisfaz a condição é
Verificação rápida:
, e
é divisível por
pois
, e por
pois
. Também podemos justificar que não existe
satisfazendo a condição porque qualquer outro
teria
sendo um múltiplo comum maior ou igual a
(os múltiplos comuns positivos são
), e o menor deles é
.
Resposta
a)