Determinar o menor número ao qual faltam 7 unidades para que seja divisível por 120 e 180:
a) 353
b) 360
c) 367
d) 380
e) 390

Passo 1

O enunciado pede: encontrar o menor número ao qual faltam 7 unidades para que ele seja divisível por 120 e por 180. Ou seja, acharmos o menor inteiro n tal que n+7 é divisível por 120 e por 180. As alternativas dadas são:
a) 353
b) 360
c) 367
d) 380
e) 390

Passo 2

Interpretação matemática clara do pedido: se n+7 é divisível por 120 e por 180, então n+7 é um múltiplo comum de 120 e 180. Para obter o menor n positivo (ou o menor inteiro não negativo, conforme o contexto), devemos usar o menor múltiplo comum (MMC, também chamado de LCM em inglês) de 120 e 180. Em símbolos: queremos o menor n tal que exista um inteiro k\ge1 com
n+7 = k\cdot \operatorname{MMC}(120,180).
O menor valor possível ocorre tomando k=1, então n = \operatorname{MMC}(120,180) - 7.

Passo 3

Vamos calcular \operatorname{MMC}(120,180) via fatoração em primos (método seguro e direto).
Fatorando 120:
120 \div 2 = 60,\quad 60 \div 2 = 30,\quad 30 \div 2 = 15,
logo já temos três fatores 2. E 15 = 3\cdot 5. Assim
120 = 2^3\cdot 3\cdot 5.
Fatorando 180:
180 \div 2 = 90,\quad 90 \div 2 = 45,
logo dois fatores 2. E 45 = 9\cdot 5 = 3^2\cdot 5. Assim
180 = 2^2\cdot 3^2\cdot 5.

Passo 4

Regra do MMC pela fatoração: para cada primo, tomamos a maior potência que aparece nas duas fatorações. Comparando as potências:
  • para 2: máximos expoente é 3 (vem de 120), então usamos 2^3;
  • para 3: máximo expoente é 2 (vem de 180), então usamos 3^2;
  • para 5: máximo expoente é 1 (presente em ambas), então usamos 5^1.
Portanto
\operatorname{MMC}(120,180) = 2^3\cdot 3^2\cdot 5.

Passo 5

Calculemos o produto passo a passo para não depender de calculadora:
2^3 = 8,\qquad 3^2 = 9.
Multiplicando:
8\cdot 9 = 72,
e
72\cdot 5 = 360.
Logo
\operatorname{MMC}(120,180)=360.

Passo 6

Agora voltamos ao n. O menor n que satisfaz a condição é
n = 360 - 7 = 353.
Verificação rápida: 353+7=360, e 360 é divisível por 120 pois 360\div120=3, e por 180 pois 360\div180=2. Também podemos justificar que não existe n<353 satisfazendo a condição porque qualquer outro n teria n+7 sendo um múltiplo comum maior ou igual a 360 (os múltiplos comuns positivos são 360,720,\dots), e o menor deles é 360.

Resposta

a) \,353

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