(23.) Determinar o menor número que dividido por 240 e 360 dá sempre resto 9 ?
a) 427
b) 539
c) 678
過 729
e) 732

Passo 1

O enunciado pede o menor número que, quando dividido por 240 e por 360, deixa sempre resto 9.
Informações dadas:
  • Ao dividir o número procurado por 240, o resto é 9.
  • Ao dividir o mesmo número por 360, o resto é 9.
    Pergunta:
  • Qual é o menor número inteiro positivo que satisfaz essas duas condições?

Passo 2

Interpretação matemática das condições (explicação didática):
Se um número N deixa resto 9 ao ser dividido por 240, isso significa que existe um inteiro a tal que
N = 240a + 9.
Analogamente, se N deixa resto 9 ao ser dividido por 360, existe inteiro b tal que
N = 360b + 9.
Portanto ambos dizem que N-9 é múltiplo de 240 e também múltiplo de 360.

Passo 3

Conclusão lógica (passo-chave):
Como N-9 é múltiplo de 240 e de 360, então N-9 é múltiplo do mínimo múltiplo comum (MMC, ou \operatorname{lcm}) de 240 e 360. Ou seja,
N-9 \text{ é múltiplo de } \operatorname{lcm}(240,360).éú
Logo os candidatos a N têm forma
N = 9 + k\cdot \operatorname{lcm}(240,360),
com k inteiro não negativo. Para obter o menor N>0 que satisfaça, basta tomar k=1 (se \operatorname{lcm} for maior que zero, o que é o caso).

Passo 4

Explicação do conceito de \operatorname{lcm} (didática):
O \operatorname{lcm}(x,y) é o menor número positivo que é múltiplo de x e de y. Uma forma prática de calcular o \operatorname{lcm} é decompor x e y em fatores primos e, para cada primo, tomar a maior potência que aparece em qualquer uma das decomposições.

Passo 5

Decomposição em fatores primos (passo a passo):
  • Para 240:
240 = 16 \cdot 15 = 2^4 \cdot (3\cdot 5) = 2^4 \cdot 3 \cdot 5.
  • Para 360:
360 = 36 \cdot 10 = (6^2)\cdot(2\cdot5) = (2^2\cdot3)^2\cdot2\cdot5 = 2^3\cdot3^2\cdot5.
Aqui expliquei cada fator: 16=2^4, 15=3\cdot5; 36=6^2=(2\cdot3)^2=2^2\cdot3^2 e multiplicando por 10=2\cdot5 2^3\cdot3^2\cdot5.

Passo 6

Cálculo do \operatorname{lcm} usando as potências máximas:
  • Para o primo 2: aparecem 2^4 em 240 e 2^3 em 360; escolhemos 2^4.
  • Para o primo 3: aparecem 3^1 em 240 e 3^2 em 360; escolhemos 3^2.
  • Para o primo 5: aparece 5^1 em ambos; escolhemos 5^1.
Portanto
\operatorname{lcm}(240,360) = 2^4 \cdot 3^2 \cdot 5.
Calculemos passo a passo:
2^4 = 16,\qquad 3^2 = 9,
16\cdot 9 = 144,
144\cdot 5 = 720.
Logo \operatorname{lcm}(240,360)=720.

Passo 7

Determinar o menor N:
Pelo raciocínio anterior, o menor N positivo é
N = 9 + 1\cdot 720 = 729.

Passo 8

Verificação (para você poder confiar na resposta):
Dividindo 729 por 240:
240\cdot 3 = 720,\quad 729-720=9,
resto 9.
Dividindo 729 por 360:
360\cdot 2 = 720,\quad 729-720=9,
resto 9. Perfeito — satisfaz ambas as condições.

Resposta

729

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