(23.) Determinar o menor número que dividido por 240 e 360 dá sempre resto 9 ?
a) 427
b) 539
c) 678
過 729
e) 732
a) 427
b) 539
c) 678
過 729
e) 732
Passo 1
O enunciado pede o menor número que, quando dividido por
e por
, deixa sempre resto
.
Informações dadas:
Informações dadas:
- Ao dividir o número procurado por
, o resto é . - Ao dividir o mesmo número por
, o resto é .
Pergunta: - Qual é o menor número inteiro positivo que satisfaz essas duas condições?
Passo 2
Interpretação matemática das condições (explicação didática):
Se um número deixa resto
ao ser dividido por
, isso significa que existe um inteiro
tal que
Se um número
Analogamente, se
deixa resto
ao ser dividido por
, existe inteiro
tal que
Portanto ambos dizem que
é múltiplo de
e também múltiplo de
.
Passo 3
Conclusão lógica (passo-chave):
Como é múltiplo de
e de
, então
é múltiplo do mínimo múltiplo comum (MMC, ou
) de
e
. Ou seja,
Como
Logo os candidatos a
têm forma
com
inteiro não negativo. Para obter o menor
que satisfaça, basta tomar
(se
for maior que zero, o que é o caso).
Passo 4
Explicação do conceito de
(didática):
O é o menor número positivo que é múltiplo de
e de
. Uma forma prática de calcular o
é decompor
e
em fatores primos e, para cada primo, tomar a maior potência que aparece em qualquer uma das decomposições.
O
Passo 5
Decomposição em fatores primos (passo a passo):
- Para
:
- Para
:
Aqui expliquei cada fator:
,
;
e multiplicando por
dá
.
Passo 6
Cálculo do
usando as potências máximas:
- Para o primo
: aparecem em e em ; escolhemos . - Para o primo
: aparecem em e em ; escolhemos . - Para o primo
: aparece em ambos; escolhemos .
Portanto
Calculemos passo a passo:
Logo
.
Passo 7
Determinar o menor
:
Pelo raciocínio anterior, o menor positivo é
Pelo raciocínio anterior, o menor
Passo 8
Verificação (para você poder confiar na resposta):
Dividindo por
:
Dividindo
resto
.
Dividindo por
:
Dividindo
resto
. Perfeito — satisfaz ambas as condições.
Resposta
729