O produto de dois números é 2.160 e o m.d.c. entre eles é 6.0 m.m.c. desses números é:
a) 300
b) 360
c) 420
d) 430
e) 450

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e faz a seguinte pergunta.
  • Informação: o produto de dois números é \,2160.
  • Informação: o m.d.c. (máximo divisor comum) entre eles é \,6.
  • Pergunta: qual é o m.m.c. (mínimo múltiplo comum) desses dois números? As alternativas são:
    a) \,300
    b) \,360
    c) \,420
    d) \,430
    e) \,450

Passo 2

Regra importante (fórmula que vamos usar) — e por que ela vale:
  • Sejam a e b dois inteiros positivos e seja d=\gcd(a,b) (o m.d.c.). Podemos escrever a = d\cdot a',\qquad b = d\cdot b',onde \gcd(a',b')=1 (ou seja, a' e b' são coprimos).
  • O m.m.c. de a e b é o menor múltiplo comum, que, quando os escrevemos na forma acima, vale \operatorname{lcm}(a,b)=d\cdot a'\cdot b'.
  • Multiplicando a e b obtemos a\cdot b = (d\cdot a')\,(d\cdot b') = d^{2}\,a'\,b'.E multiplicando \gcd pelo \operatorname{lcm} obtemos \gcd(a,b)\cdot\operatorname{lcm}(a,b)=d\cdot\big(d\cdot a'\cdot b'\big)=d^{2}\,a'\,b'.
  • Conclusão: para quaisquer inteiros positivos a e b vale a relação \gcd(a,b)\cdot\operatorname{lcm}(a,b)=a\cdot b.Essa é a fórmula-chave que vamos usar (ela nos permite achar o m.m.c. se soubermos o produto e o m.d.c.).

Passo 3

Aplicando a fórmula ao enunciado:
  • Temos a\cdot b=\;2160 e \gcd(a,b)=\;6.
  • Portanto \operatorname{lcm}(a,b)=\frac{a\cdot b}{\gcd(a,b)}=\frac{2160}{6}.
  • Calculemos \dfrac{2160}{6}. Uma maneira simples de ver: 6\cdot 300 = 1800,\qquad 6\cdot 60 = 360,\qquad 1800+360=2160,logo o quociente é 300+60=360. Assim \dfrac{2160}{6}=360.

Passo 4

Confirmação alternativa (controle por fatoração), para você ficar seguro:
  • Fatoremos \,2160: 2160 = 2^{4}\cdot 3^{3}\cdot 5.(Passo rápido: 2160=216\cdot10=6^{3}\cdot10=(2\cdot3)^{3}\cdot(2\cdot5)=2^{4}\cdot3^{3}\cdot5.)
  • Fatoremos \gcd=6: 6 = 2^{1}\cdot 3^{1}.
  • Dividindo os expoentes (equivalente a \dfrac{2160}{6} em fatores primos) obtemos \operatorname{lcm} = 2^{4-1}\cdot 3^{3-1}\cdot 5 = 2^{3}\cdot 3^{2}\cdot 5 = 8\cdot 9\cdot 5 = 360.
  • Portanto a conta bate certinho: m.m.c. = \,360.

Passo 5

Resumo curto e ânimo: usando a relação \gcd\cdot\operatorname{lcm}= \text{produto} chegamos a \operatorname{lcm}=\dfrac{2160}{6}=360. Vai dar certo na prova — essa fórmula salva tempo!

Resposta

b) 360

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