Determinar a norma de cada um dos seguintes vetores: A=\left(\begin{array}{ll}1 & 2 \\\\ 2 & 1\end{array}\right) em relação ao produto interno \langle A, B\rangle=\operatorname{tr}\left(B^{T} A\right). Passo 1O enunciado nos dá o vetor (matriz) A = \begin{pmatrix}1 & 2 \\\\ 2 & 1\end{pmatrix} e define o produto interno em matrizes por \langle A,B\rangle = \operatorname{tr}\bigl(B^T A\bigr). Ele pede a norma de A associada a esse produto interno. Passo 2Em qualquer espaço com produto interno, a norma de um vetor A vem dada por \|A\| = \sqrt{\langle A,A\rangle}. Aqui, \langle A,A\rangle = \operatorname{tr}\bigl(A^T A\bigr). Passo 3Vamos calcular A^T A. Como A é simétrica, A^T=A, então A^T A = A\,A = \begin{pmatrix}1 & 2 \\\\ 2 & 1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}1 & 2 \\\\ 2 & 1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1\cdot1 + 2\cdot2 & 1\cdot2 + 2\cdot1 \\[0.3em] 2\cdot1 + 1\cdot2 & 2\cdot2 + 1\cdot1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}5 & 4 \\\\ 4 & 5\end{pmatrix}.] Passo 4Agora computamos o traço de A^T A: \operatorname{tr}\bigl(A^T A\bigr) = 5 + 5 = 10. Logo \langle A,A\rangle = 10. Passo 5Finalmente, a norma de A é \|A\| = \sqrt{\langle A,A\rangle} = \sqrt{10}. Resposta \sqrt{10} MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETAExercícios relacionadosSejam A e B matrizes do espaço vetorial M(2,2). Considere o produto interno \langle A, B\rangle=\operatorname{tr}\left(B^{T} A\right), onde B^{T} denota a matriz transposta de B. Sendo A=\left(\begin{array}{ll}1 & 1 \\\\ 0 & 1\end{array}\right) e B=\left(\begin{array}{ll}1 & 0 \\\\ 0 & 1\end{array}\right). Calcule \langle A, B\rangle, \|A\| e \|B\|. Usando o produto interno <p, q>=\int_{0}^{1} p(x) q(x) d x em \mathbb{P}_{2}(\mathbb{R}), determinar o produto interno de: p(x)=x \quad e \quad g(x)=1-x^{2}; Determinar a norma de cada um dos seguintes vetores: A=\left(\begin{array}{ll}1 & 2 \\\\ 2 & 1\end{array}\right) em relação ao produto interno \langle A, B\rangle=\operatorname{tr}\left(B^{T} A\right). Encontrar a distância de vec{u} a vec{v} e o cosseno do ângulo entre vec{u} a vec{v} nos seguintes casos: A=\left(\begin{array}{ll}1 & 1 \\\\ 0 & 0\end{array}\right) e B=\left(\begin{array}{ll}0 & 1 \\\\ 1 & 0\end{array}\right) em relação ao produto interno \langle A, B\rangle=\operatorname{tr}\left(B^{T} A\right).