Determinar a norma de cada um dos seguintes vetores:
A=\left(\begin{array}{ll}1 & 2 \\\\ 2 & 1\end{array}\right) em relação ao produto interno \langle A, B\rangle=\operatorname{tr}\left(B^{T} A\right).

Passo 1

O enunciado nos dá o vetor (matriz)
A = \begin{pmatrix}1 & 2 \\\\ 2 & 1\end{pmatrix}
e define o produto interno em matrizes por
\langle A,B\rangle = \operatorname{tr}\bigl(B^T A\bigr).
Ele pede a norma de A associada a esse produto interno.

Passo 2

Em qualquer espaço com produto interno, a norma de um vetor A vem dada por
\|A\| = \sqrt{\langle A,A\rangle}.
Aqui,
\langle A,A\rangle = \operatorname{tr}\bigl(A^T A\bigr).

Passo 3

Vamos calcular A^T A. Como A é simétrica, A^T=A, então
A^T A = A\,A = \begin{pmatrix}1 & 2 \\\\ 2 & 1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}1 & 2 \\\\ 2 & 1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1\cdot1 + 2\cdot2 & 1\cdot2 + 2\cdot1 \\[0.3em] 2\cdot1 + 1\cdot2 & 2\cdot2 + 1\cdot1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}5 & 4 \\\\ 4 & 5\end{pmatrix}.]

Passo 4

Agora computamos o traço de A^T A:
\operatorname{tr}\bigl(A^T A\bigr) = 5 + 5 = 10.
Logo
\langle A,A\rangle = 10.

Passo 5

Finalmente, a norma de A é
\|A\| = \sqrt{\langle A,A\rangle} = \sqrt{10}.

Resposta

\sqrt{10}

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