Usando o produto interno <p, q>=\int_{0}^{1} p(x) q(x) d x em \mathbb{P}_{2}(\mathbb{R}), determinar o produto interno de:
p(x)=x \quad e \quad g(x)=1-x^{2};

Passo 1

O enunciado pede o produto interno de p(x)=x e g(x)=1-x^2 no espaço \mathbb{P}_2(\mathbb{R}) definido por
\langle p,q\rangle = \int_{0}^{1} p(x)\,q(x)\,dx.
Para resolver, vamos usar propriedade de linearidade da integral e saber integrar polinômios.

Passo 2

Substituindo p e g na definição, temos
\langle p,g\rangle = \int_{0}^{1} x\,(1 - x^2)\,dx.

Passo 3

Expandindo o integrando,
x\,(1 - x^2) = x - x^3,
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\langle p,g\rangle = \int_{0}^{1} (x - x^3)\,dx.

Passo 4

Usando integral de potências:
\int_{0}^{1} x\,dx = \left[\tfrac{x^2}{2}\right]_{0}^{1} = \tfrac12, \quad \int_{0}^{1} x^3\,dx = \left[\tfrac{x^4}{4}\right]_{0}^{1} = \tfrac14.
Portanto,
\langle p,g\rangle = \tfrac12 - \tfrac14 = \tfrac14.

Resposta

\displaystyle \tfrac{1}{4}

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