Sejam A e B matrizes do espaço vetorial M(2,2). Considere o produto interno \langle A, B\rangle=\operatorname{tr}\left(B^{T} A\right), onde B^{T} denota a matriz transposta de B. Sendo A=\left(\begin{array}{ll}1 & 1 \\\\ 0 & 1\end{array}\right) e B=\left(\begin{array}{ll}1 & 0 \\\\ 0 & 1\end{array}\right). Calcule \langle A, B\rangle, \|A\| e \|B\|.

Passo 1

O enunciado nos dá duas matrizes em M(2,2) e define o produto interno
\langle A,B\rangle = \mathrm{tr}\bigl(B^{T}A\bigr).
Precisamos calcular \langle A,B\rangle, a norma de A, \|A\|, e a norma de B, \|B\|, onde
A = \begin{pmatrix}1 & 1\\[6pt]0 & 1\end{pmatrix} \quad\text{e}\quad B = \begin{pmatrix}1 & 0\\[6pt]0 & 1\end{pmatrix}.]

Passo 2

Para \langle A,B\rangle usamos
B^{T}=B \quad\Longrightarrow\quad \langle A,B\rangle = \mathrm{tr}\bigl(B^{T}A\bigr) = \mathrm{tr}(A).
Como \mathrm{tr}(A)=1+1=2, temos
\langle A,B\rangle = 2.

Passo 3

A norma de A é
\|A\| = \sqrt{\langle A,A\rangle} = \sqrt{\mathrm{tr}\bigl(A^{T}A\bigr)}.
Calculamos
A^{T} = \begin{pmatrix}1 & 0\\[4pt]1 & 1\end{pmatrix}, \quad A^{T}A = \begin{pmatrix}1 & 1\\[4pt]1 & 2\end{pmatrix},
logo \mathrm{tr}(A^{T}A)=1+2=3. Assim
\|A\| = \sqrt{3}.]

Passo 4

A norma de B é
\|B\| = \sqrt{\langle B,B\rangle} = \sqrt{\mathrm{tr}\bigl(B^{T}B\bigr)}.
Como B é a identidade, B^{T}B = I e \mathrm{tr}(I)=2. Portanto
\|B\| = \sqrt{2}.

Resposta

\langle A,B\rangle = 2 \|A\| = \sqrt{3} \|B\| = \sqrt{2}

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