Q4. Espaço Vetorial (Solução de problemas q1):
Determinar o vetor \mathrm{w} \rightarrow na igualdade 3 \mathrm{w} \rightarrow+2 \mathrm{u} \rightarrow=12 \mathrm{v} \rightarrow+\mathrm{w} \rightarrow, sendo dados \mathrm{u} \rightarrow=(3,-1) =(3,-1) e v \rightarrow=(-2,4)=(-2,4).

Passo 1

O enunciado pede para determinar o vetor \vec w que satisfaz a igualdade
3\vec w + 2\vec u = 12\vec v + \vec w,
sendo dados os vetores
\vec u = (3,-1), \qquad \vec v = (-2,4).
Itens dados:
  • A equação vetorial: 3\vec w + 2\vec u = 12\vec v + \vec w.
  • O vetor \vec u = (3,-1).
  • O vetor \vec v = (-2,4).
O que se pede:
  • Encontrar explicitamente o vetor \vec w em coordenadas (componente x e y).

Passo 2

Reorganizar a equação para isolar \vec w. Lembrete de operações com vetores:
  • Podemos somar e subtrair vetores componente a componente.
  • Podemos multiplicar um vetor por escalar e dividir por escalar (quando o escalar for diferente de zero), aplicando o escalar a cada componente.
    Partindo de
3\vec w + 2\vec u = 12\vec v + \vec w,
subtraindo \vec w dos dois lados obtemos
3\vec w - \vec w + 2\vec u = 12\vec v,
ou seja
2\vec w + 2\vec u = 12\vec v.

Passo 3

Continuando a manipulação algébrica, subtraímos 2\vec u dos dois lados:
2\vec w = 12\vec v - 2\vec u.
Agora dividimos ambos os lados por 2 (vale porque 2\neq0), usando que a divisão por escalar distribui sobre cada componente:
\vec w = 6\vec v - \vec u.
Aqui foi usada a propriedade distributiva da multiplicação por escalar e a linearidade das operações vetoriais.

Passo 4

Substituir os vetores dados e calcular componente a componente.
Calcular 6\vec v:
6\vec v = 6(-2,4) = (6\cdot(-2),\,6\cdot4) = (-12,24).
Então
\vec w = 6\vec v - \vec u = (-12,24) - (3,-1).
Subtração componente a componente:
\vec w = (-12-3,\;24-(-1)) = (-15,\,25).

Passo 5

Verificação rápida (substituir de volta na equação inicial para conferir):
  • 3\vec w = 3(-15,25) = (-45,75).
  • 2\vec u = 2(3,-1) = (6,-2).
    Soma: 3\vec w + 2\vec u = (-45,75) + (6,-2) = (-39,73).
  • 12\vec v = 12(-2,4) = (-24,48).
  • 12\vec v + \vec w = (-24,48) + (-15,25) = (-39,73).
Como os dois lados coincidem, a solução está correta.

Resposta

\vec w = (-15,25)

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