Determinar o núcleo, uma base para esse subespaço e sua dimensāo. T é injetora? Justificar.
Determinar a imagem, uma base para esse subespaço e sua dimensāo. T é sobrejetora? Justificar.
T: \mathbb{R}^{2} \longrightarrow \mathbb{R}^{2}, T(x, y)=(x-2 y, x+y)

Passo 1

O enunciado pede duas coisas bem separadas:
  • Determinar o núcleo de T, dar uma base para esse subespaço e sua dimensão; responder se T é injetora e justificar.
  • Determinar a imagem de T, dar uma base para esse subespaço e sua dimensão; responder se T é sobrejetora e justificar.
Informações fornecidas:
  • A transformação linear é T:\mathbb{R}^{2}\to\mathbb{R}^{2} definida por T(x,y)=(x-2y,\;x+y).

Passo 2

Vamos representar T por uma matriz em relação à base canônica de \mathbb{R}^2. Cada coluna da matriz é a imagem do vetor canônico correspondente.
  • A imagem de (1,0) por T é T(1,0)=(1-2\cdot0,\;1+0)=(1,1).
  • A imagem de (0,1) por T é T(0,1)=(0-2\cdot1,\;0+1)=(-2,1).
Portanto a matriz de T na base canônica é
A=\begin{pmatrix}1 & -2\\[4pt]1 & 1\end{pmatrix},
onde as colunas são \begin{pmatrix}1\\\ 1\end{pmatrix} e \begin{pmatrix}-2\\\ 1\end{pmatrix}.
Explicação rápida: representar T por uma matriz facilita porque resolver T(x,y)=\mathbf{0} equivale a resolver A\begin{pmatrix}x\y\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\\ 0\end{pmatrix}, e a imagem de T é simplesmente o espaço gerado pelas colunas de A.]

Passo 3

Determinar o núcleo: resolver T(x,y)=(0,0)\). Isto é resolver o sistema linear \[\begin{cases} x-2y=0,\\[4pt] x+y=0. \end{cases}
Vou resolver passo a passo (sem pular etapas):
  • Da primeira equação obtemos x=2y\]. - Substituindo na segunda equação: \(2y + y = 0.
    - Então 3y=0\Rightarrow y=0.
    - Com y=0 obtemos x=2\cdot 0=0.
Logo a única solução é (x,y)=(0,0). Assim
\ker(T)=\{(0,0)\}.
Comentário didático: o núcleo é o conjunto de vetores que vão para o vetor zero. Aqui deu só o vetor zero, o que já é um sinal forte sobre injetividade (veremos em seguida).]

Passo 4

Base e dimensão do núcleo:
  • O subespaço formado apenas pelo vetor zero é o subespaço trivial. Ele não admite uma base com vetores não-nulos; a base do subespaço \{0\} é o conjunto vazio.
  • Portanto, uma base para \ker(T) é \varnothing (base vazia) e a dimensão é
\dim(\ker(T))=0.
Comentário didático: por definição, a dimensão do subespaço \{0\} é zero. Não se usa o vetor zero como elemento de base porque base exige vetores linearmente independentes e que gerem o espaço; o conjunto \{0\} não é linearmente independente.

Passo 5

Injetividade:
Critério usado: uma transformação linear T é injetora se, e somente se, \ker(T)=\{0\}. Já encontramos \ker(T)=\{0\}. Logo T é injetora.
Comentário adicional (fórmula útil): pelo Teorema do Núcleo e Imagem (rank-nullity) para transformações T:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^m,
\dim(\ker T)+\dim(\operatorname{Im}T)=n.
Aqui n=2; como \dim(\ker T)=0 teremos \dim(\operatorname{Im}T)=2. Isso já antecipa que a imagem tem dimensão 2.

Passo 6

Determinar a imagem: a imagem de T é o subespaço gerado pelas colunas da matriz A. Assim
\operatorname{Im}(T)=\operatorname{span}\!\left\{\begin{pmatrix}1\\\ 1\end{pmatrix},\;\begin{pmatrix}-2\\\ 1\end{pmatrix}\right\}.
Didática sobre o porquê: a imagem é o conjunto de todos os vetores que podem ser obtidos como A\begin{pmatrix}x\y\end{pmatrix}; isso é exatamente o espaço linear gerado pelas colunas de A.

Passo 7

Determinar se as colunas são linearmente independentes (para achar uma base e a dimensão da imagem). Há dois jeitos simples:
  1. Resolver a\begin{pmatrix}1\\\ 1\end{pmatrix}+b\begin{pmatrix}-2\\\ 1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\\ 0\end{pmatrix}\). Escrevendo coordenadas: \[\begin{cases} a-2b=0,\\[4pt] a+b=0. \end{cases}
Subtraindo ou resolvendo: da segunda a=-b\]. Substituindo na primeira: \(-b-2b=0\Rightarrow -3b=0\Rightarrow b=0\Rightarrow a=0. Logo somente a solução trivial, as colunas são linearmente independentes.
  1. (Forma rápida) Calcular o determinante de A:
\det(A)=1\cdot1-(-2)\cdot1=1+2=3\neq0.
Se a matriz 2\times2 tem determinante não nulo, as colunas são linearmente independentes.
Ambas as abordagens chegam à mesma conclusão: as duas colunas são independentes.]

Passo 8

Base e dimensão da imagem e surjetividade:
  • Como as duas colunas são linearmente independentes e estão em \mathbb{R}^2, elas formam uma base de \operatorname{Im}(T).
  • Então
\operatorname{Im}(T)=\mathbb{R}^2,
porque um subconjunto de \mathbb{R}^2 com duas colunas linearmente independentes cria um espaço de dimensão 2, isto é, todo \mathbb{R}^2.
  • Uma base conveniente para \operatorname{Im}(T) é
\left\{\begin{pmatrix}1\\\ 1\end{pmatrix},\;\begin{pmatrix}-2\\\ 1\end{pmatrix}\right\}.
  • A dimensão é
\dim(\operatorname{Im}(T))=2.
Surjetividade: como \operatorname{Im}(T)=\mathbb{R}^2 (o codomínio), T é sobrejetora.
Comentário final: com núcleo trivial e imagem igual ao espaço alvo, T é bijetora (injetora e sobrejetora). A determinante não nulo confirma que A é invertível.

Resposta

Núcleo: \ker(T)=\{(0,0)\}. Base do núcleo: \varnothing. Dimensão do núcleo: 0. T é injetora? Sim.
Imagem: \operatorname{Im}(T)=\mathbb{R}^2. Base da imagem: \displaystyle\left\{\begin{pmatrix}1\\\ 1\end{pmatrix},\;\begin{pmatrix}-2\\\ 1\end{pmatrix}\right\}. Dimensão da imagem: 2. T é sobrejetora? Sim.

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