Determinar o núcleo, uma base para esse subespaço e sua dimensāo. T é injetora? Justificar.
Determinar a imagem, uma base para esse subespaço e sua dimensāo. T é sobrejetora? Justificar.
Determinar a imagem, uma base para esse subespaço e sua dimensāo. T é sobrejetora? Justificar.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas bem separadas:
- Determinar o núcleo de
, dar uma base para esse subespaço e sua dimensão; responder se é injetora e justificar. - Determinar a imagem de
, dar uma base para esse subespaço e sua dimensão; responder se é sobrejetora e justificar.
Informações fornecidas:
- A transformação linear é
definida por .
Passo 2
Vamos representar
por uma matriz em relação à base canônica de
. Cada coluna da matriz é a imagem do vetor canônico correspondente.
- A imagem de
por é . - A imagem de
por é .
Portanto a matriz de
na base canônica é
onde as colunas são
e
.
Explicação rápida: representar
por uma matriz facilita porque resolver
equivale a resolver
, e a imagem de
é simplesmente o espaço gerado pelas colunas de
.]
Passo 3
Determinar o núcleo: resolver
Vou resolver passo a passo (sem pular etapas):
- Da primeira equação obtemos
.
- Então.
- Comobtemos .
Logo a única solução é
. Assim
Comentário didático: o núcleo é o conjunto de vetores que vão para o vetor zero. Aqui deu só o vetor zero, o que já é um sinal forte sobre injetividade (veremos em seguida).]
Passo 4
Base e dimensão do núcleo:
- O subespaço formado apenas pelo vetor zero é o subespaço trivial. Ele não admite uma base com vetores não-nulos; a base do subespaço
é o conjunto vazio. - Portanto, uma base para
é (base vazia) e a dimensão é
Comentário didático: por definição, a dimensão do subespaço
é zero. Não se usa o vetor zero como elemento de base porque base exige vetores linearmente independentes e que gerem o espaço; o conjunto
não é linearmente independente.
Passo 5
Injetividade:
Critério usado: uma transformação linear
é injetora se, e somente se,
. Já encontramos
. Logo
é injetora.
Comentário adicional (fórmula útil): pelo Teorema do Núcleo e Imagem (rank-nullity) para transformações
,
Aqui
; como
teremos
. Isso já antecipa que a imagem tem dimensão
.
Passo 6
Determinar a imagem: a imagem de
é o subespaço gerado pelas colunas da matriz
. Assim
Didática sobre o porquê: a imagem é o conjunto de todos os vetores que podem ser obtidos como
; isso é exatamente o espaço linear gerado pelas colunas de
.
Passo 7
Determinar se as colunas são linearmente independentes (para achar uma base e a dimensão da imagem). Há dois jeitos simples:
- Resolver
Subtraindo ou resolvendo: da segunda
. Logo somente a solução trivial, as colunas são linearmente independentes.
- (Forma rápida) Calcular o determinante de
:
Se a matriz
tem determinante não nulo, as colunas são linearmente independentes.
Ambas as abordagens chegam à mesma conclusão: as duas colunas são independentes.]
Passo 8
Base e dimensão da imagem e surjetividade:
- Como as duas colunas são linearmente independentes e estão em
, elas formam uma base de . - Então
porque um subconjunto de
com duas colunas linearmente independentes cria um espaço de dimensão
, isto é, todo
.
- Uma base conveniente para
é
- A dimensão é
Surjetividade: como
(o codomínio),
é sobrejetora.
Comentário final: com núcleo trivial e imagem igual ao espaço alvo,
é bijetora (injetora e sobrejetora). A determinante não nulo confirma que
é invertível.
Resposta
Núcleo:
. Base do núcleo:
. Dimensão do núcleo:
.
é injetora? Sim.
Imagem: . Base da imagem:
. Dimensão da imagem:
.
é sobrejetora? Sim.
Imagem: