Determinar o núcleo, uma base para esse subespaço e sua dimensāo. T é injetora? Justificar.
Determinar a imagem, uma base para esse subespaço e sua dimensāo. T é sobrejetora? Justificar.
T: \mathbb{R}^{2} \longrightarrow \mathbb{R}^{3}, T(x, y)=(x+y, x, 2 y)

Passo 1

O enunciado nos dá a transformação linear T:\mathbb{R}^{2}\to\mathbb{R}^{3} definida por
T(x,y)=(x+y,\;x,\;2y).
O que o problema pede, explicitamente:
  • Determinar o núcleo (kernel) de T, apresentar uma base para esse subespaço e sua dimensão. Pergunta também: T é injetora? Justificar.
  • Determinar a imagem (range) de T, apresentar uma base para esse subespaço e sua dimensão. Pergunta também: T é sobrejetora? Justificar.
Informações relevantes fornecidas:
  • A fórmula de T para um vetor (x,y)\in\mathbb{R}^{2} é (x+y,\;x,\;2y).
  • O domínio é \mathbb{R}^{2} e o contradomínio é \mathbb{R}^{3}.

Passo 2

O que é o núcleo e como vamos encontrá-lo (explicando devagarinho).
  • Definição: o núcleo de T, escrito \ker T, é o conjunto de vetores de \mathbb{R}^{2} que são enviados para o vetor zero em \mathbb{R}^{3}. Em símbolos:
\ker T=\{(x,y)\in\mathbb{R}^{2}\mid T(x,y)=(0,0,0)\}.
  • Portanto para achar \ker T precisamos resolver a igualdade
T(x,y)=(x+y,\;x,\;2y)=(0,0,0).
Isso nos dá um sistema de equações lineares que vamos resolver componente a componente.

Passo 3

Resolver o sistema para o núcleo, etapa a etapa.
A igualdade T(x,y)=(0,0,0)\) fornece as três equações: \[\begin{cases} x+y=0,\\[4pt] x=0,\\[4pt] 2y=0. \end{cases}
  • Da segunda equação vem x=0\]. - Da terceira equação vem \(y=0.
    - Substituindo em x+y=0 obtemos 0+0=0, que é verdade. Logo não há contradição.
Conclusão: a única solução é (x,y)=(0,0). Assim
\ker T=\{(0,0)\},
ou seja, o núcleo é apenas o subespaço nulo.]

Passo 4

Base e dimensão do núcleo; consequência para injeção (com explicação do porquê).
  • Quando o núcleo é só o vetor zero, o subespaço tem dimensão zero. A base do subespaço nulo é o conjunto vazio; em notação:
\text{base de }\ker T=\varnothing,\qquad \dim(\ker T)=0.
(Explicando: uma base é um conjunto de vetores linearmente independentes que geram o subespaço. Para o subespaço \{0\} não existe vetor não-nulo para gerar algo, então a base é o conjunto vazio e a dimensão é 0.)
  • Propriedade importante (usada frequentemente em provas): uma transformação linear é injetora se, e somente se, seu núcleo é \{0\}. Como \ker T=\{0\}, concluímos que T é injetora.

Passo 5

O que é a imagem e como vamos encontrá-la (passo-a-passo).
  • Definição: a imagem de T, escrita \operatorname{Im}T ou \mathrm{range}(T), é o conjunto de todos os vetores em \mathbb{R}^{3} que podem ser obtidos como T(x,y) para algum (x,y)\in\mathbb{R}^{2}. Em símbolos:
\operatorname{Im}T=\{T(x,y)\in\mathbb{R}^{3}\mid (x,y)\in\mathbb{R}^{2}\}.
  • Método prático: uma vez que \mathbb{R}^{2} tem base canônica \{(1,0),(0,1)\}, a imagem é o subespaço gerado pelos vetores T(1,0) e T(0,1). Vamos calcular esses vetores.

Passo 6

Calcular as imagens dos vetores da base canônica e escrever a imagem como span.
  • Para (1,0):
T(1,0)=(1+0,\;1,\;2\cdot 0)=(1,1,0).
  • Para (0,1):
T(0,1)=(0+1,\;0,\;2\cdot 1)=(1,0,2).
Portanto
\operatorname{Im}T=\operatorname{span}\{(1,1,0),\;(1,0,2)\}.
Isto significa que qualquer vetor na imagem é combinação linear desses dois vetores.

Passo 7

Verificar se os geradores da imagem são linearmente independentes (para obter uma base e a dimensão).
  • Considere a combinação linear nula:
a(1,1,0)+b(1,0,2)=(0,0,0).
Escrevendo componente a componente:
(a+b,\;a,\;2b)=(0,0,0).
Isso dá o sistema
\begin{cases} a+b=0,\\[4pt] a=0,\\[4pt] 2b=0. \end{cases}
Da segunda equação a=0. Da terceira b=0. Logo a=b=0 é a única solução. Portanto os vetores (1,1,0) e (1,0,2) são linearmente independentes.
  • Como são dois vetores independentes, eles formam uma base do subespaço que geram. Assim uma base de \operatorname{Im}T é
\{(1,1,0),\;(1,0,2)\},
e a dimensão é
\dim(\operatorname{Im}T)=2.]

Passo 8

Outra descrição da imagem (equação do plano) e teste de sobrejetividade.
  • Podemos caracterizar a imagem por uma relação entre as coordenadas. Seja (u,v,w)=T(x,y)=(x+y,\;x,\;2y). Podemos recuperar x e y em termos de v e w:
x=v,\qquad y=\frac{w}{2}.
Então
u=x+y=v+\frac{w}{2}.
Rearranjando, obtemos uma equação linear que qualquer vetor da imagem satisfaz:
2u-2v-w=0.
Portanto \operatorname{Im}T é o plano em \mathbb{R}^{3} com equação 2u-2v-w=0.
  • Sobrejetividade: para ser sobrejetora, \operatorname{Im}T teria de ser todo \mathbb{R}^{3}. Mas \operatorname{Im}T é um plano (dimensão 2) dentro de \mathbb{R}^{3} (dimensão 3), logo não é todo \mathbb{R}^{3}. Assim T não é sobrejetora.
  • Exemplo concreto de vetor que não está na imagem: o vetor (0,0,1) não satisfaz u=v+\tfrac{w}{2}, pois 0\neq 0+\tfrac{1}{2}. Logo (0,0,1)\notin\operatorname{Im}T, reforçando que T não é sobrejetora.

Resposta

\ker T=\{(0,0)\}
base de \ker T=\varnothing
\dim(\ker T)=0
T é injetora: sim ( \ker T=\{0\}).
\operatorname{Im}T=\operatorname{span}\{(1,1,0),\;(1,0,2)\}
base de \operatorname{Im}T=\{(1,1,0),\;(1,0,2)\}
\dim(\operatorname{Im}T)=2
T é sobrejetora: não (imagem é um plano de dimensão 2 em \mathbb{R}^{3}).

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