Determinar a ordem de cada equação diferencial parcial. Dizer também se a equação é linear ou nāo-linear. As derivadas parciais estão simbolizadas pelos índices inferiores.
Passo 1
O que o enunciado pede: determinar a ordem da equação diferencial parcial dada e dizer se ela é linear ou não-linear.
Informações fornecidas pelo enunciado:
Aqui as derivadas parciais estão indicadas pelos índices inferiores: por exemplo
significa
e
significa
.
Passo 2
O que significa “ordem” de uma equação diferencial parcial?
Definição: a ordem de uma equação diferencial parcial é o maior número de diferenciações (ordem das derivadas) que aparece na equação.
Explicando com exemplos simples:
Explicando com exemplos simples:
- é uma derivada de ordem 1;
-
ou (,\partial^2 u/\partial x^2,$ é de ordem 2; -
é também de ordem 2 (uma derivada mista).
Aplicando isso à equação dada: os termos presentes são
e
, ambos são derivadas de segunda ordem. Portanto o maior número de diferenciações que aparece é
. Conclusão:
a ordem da equação é .)
a ordem da equação é
Passo 3
O que significa “linear” para uma equação diferencial parcial?
Definição (intuitiva e prática): uma equação diferencial parcial é linear em
se todas as aparições de
e de suas derivadas aparecem somente de forma linear — isto é, são somas de coeficientes (que podem depender das variáveis independentes, mas não de
) multiplicando
ou suas derivadas. Não pode haver produtos entre
e
, produtos entre derivadas, nem funções não-lineares de
(como
,
,
,
, etc.). Outra maneira de ver: a equação é linear se o operador diferencial
aplicado a
satisfaz
.
Passo 4
Aplicando a definição de linearidade à equação dada.
Primeiro reescrevemos a equação trazendo tudo para um lado:
Aqui o operador linear que age em
é
Os coeficientes
e
são constantes (logo não dependem de
). Não há termos como
,
,
ou qualquer produto não-linear envolvendo
ou suas derivadas. Portanto todos os termos que envolvem
aparecem linearmente. Além disso o lado direito é
, então é uma equação linear homogênea.
Podemos também afirmar que os coeficientes são constantes (depende se
é constante; o enunciado usa
como parâmetro, então tratamos
como constante), então trata-se de uma equação linear com coeficientes constantes.
Passo 5
Resumo final e observações rápidas (úteis para a prova)
- Ordem: verificar o maior índice total de diferenciação presente; aqui é
por causa de e . - Linearidade: verificar se aparecem produtos ou funções não-lineares de
ou suas derivadas; aqui não aparecem, então é linear. - Como nota extra (útil para reconhecer o tipo de equação na prova): a forma
é a forma clássica da equação da onda unidimensional (quando é constante), mas isso é apenas contexto — a resposta pedida é ordem e linearidade.
Resposta
Ordem:
Linearidade: linear (linear homogênea de segunda ordem, com coeficientes constantes)