Determinar a ordem de cada equação diferencial parcial. Dizer também se a equação é linear ou nāo-linear. As derivadas parciais estão simbolizadas pelos índices inferiores.
a^{2} u_{x x}=u_{t t}

Passo 1

O que o enunciado pede: determinar a ordem da equação diferencial parcial dada e dizer se ela é linear ou não-linear.
Informações fornecidas pelo enunciado:
a^{2} u_{x x}=u_{t t}
Aqui as derivadas parciais estão indicadas pelos índices inferiores: por exemplo \,u_{x x}\, significa \partial^{2}u/\partial x^{2} e \,u_{t t}\, significa \partial^{2}u/\partial t^{2}.

Passo 2

O que significa “ordem” de uma equação diferencial parcial?
Definição: a ordem de uma equação diferencial parcial é o maior número de diferenciações (ordem das derivadas) que aparece na equação.
Explicando com exemplos simples:
  • \,u_x\,\(ou \(\,\partial u/\partial x\, é uma derivada de ordem 1;
  • \,u_{xx} ou (,\partial^2 u/\partial x^2,$ é de ordem 2;
  • \,u_{xy} é também de ordem 2 (uma derivada mista).
Aplicando isso à equação dada: os termos presentes são \,u_{x x}\, e \,u_{t t}\,, ambos são derivadas de segunda ordem. Portanto o maior número de diferenciações que aparece é 2. Conclusão:
a ordem da equação é 2.)

Passo 3

O que significa “linear” para uma equação diferencial parcial?
Definição (intuitiva e prática): uma equação diferencial parcial é linear em u se todas as aparições de u e de suas derivadas aparecem somente de forma linear — isto é, são somas de coeficientes (que podem depender das variáveis independentes, mas não de u) multiplicando u ou suas derivadas. Não pode haver produtos entre u e u, produtos entre derivadas, nem funções não-lineares de u (como \sin(u), u^2, u\,u_{xx}, (u_x)^2, etc.). Outra maneira de ver: a equação é linear se o operador diferencial L aplicado a u satisfaz L(c_1 u_1 + c_2 u_2)=c_1 L(u_1)+c_2 L(u_2).

Passo 4

Aplicando a definição de linearidade à equação dada.
Primeiro reescrevemos a equação trazendo tudo para um lado:
a^{2} u_{x x} - u_{t t} = 0.
Aqui o operador linear que age em u é
L[u]=a^{2} u_{x x} - u_{t t}.
Os coeficientes a^{2} e -1 são constantes (logo não dependem de u). Não há termos como u\cdot u_{xx}, (u_x)^2, \sin(u) ou qualquer produto não-linear envolvendo u ou suas derivadas. Portanto todos os termos que envolvem u aparecem linearmente. Além disso o lado direito é 0, então é uma equação linear homogênea.
Podemos também afirmar que os coeficientes são constantes (depende se a é constante; o enunciado usa a^2 como parâmetro, então tratamos a como constante), então trata-se de uma equação linear com coeficientes constantes.

Passo 5

Resumo final e observações rápidas (úteis para a prova)
  • Ordem: verificar o maior índice total de diferenciação presente; aqui é 2 por causa de \,u_{xx} e \,u_{tt}.
  • Linearidade: verificar se aparecem produtos ou funções não-lineares de u ou suas derivadas; aqui não aparecem, então é linear.
  • Como nota extra (útil para reconhecer o tipo de equação na prova): a forma \,a^{2} u_{xx}=u_{tt}\, é a forma clássica da equação da onda unidimensional (quando a é constante), mas isso é apenas contexto — a resposta pedida é ordem e linearidade.

Resposta

Ordem: \,2
Linearidade: linear (linear homogênea de segunda ordem, com coeficientes constantes)

Exercícios relacionados