Determinar a ordem de cada equação diferencial parcial. Dizer também se a equação é linear ou nāo-linear. As derivadas parciais estão simbolizadas pelos índices inferiores.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas: (a) determinar a ordem da equação diferencial parcial e (b) dizer se a equação é linear ou não-linear.
A equação dada é .
Informações explícitas do enunciado que vamos usar: é a derivada parcial de segunda ordem de
em relação a
e
é a derivada parcial de primeira ordem de
em relação a
. Não há outras funções dependentes de
aparecendo no enunciado.
A equação dada é
Informações explícitas do enunciado que vamos usar:
Passo 2
O que significa “ordem” de uma equação diferencial parcial?
A ordem de uma equação diferencial parcial é a maior ordem de derivada parcial de que aparece na equação. Ou seja, listamos todas as derivadas parciais presentes e tomamos a maior ordem entre elas.
Na equação dada aparecem as derivadas (que é de ordem
) e
(que é de ordem
). A maior ordem é
. Portanto a ordem da equação é
.
A ordem de uma equação diferencial parcial é a maior ordem de derivada parcial de
Na equação dada aparecem as derivadas
Passo 3
O que significa “linear” para uma equação diferencial parcial?
Uma equação diferencial parcial é linear se a incógnita e todas as suas derivadas aparecem apenas em combinações lineares — isto é, sem produtos entre
e suas derivadas, sem potências não-lineares de
(como
), e sem funções não-lineares de
. Formalmente, uma equação tem a forma linear se pode ser escrita como
Uma equação diferencial parcial é linear se a incógnita
onde
é um operador linear (ou seja,
para quaisquer escalares
e funções
).
Reescrevendo a equação dada como
Reescrevendo a equação dada como
vemos que cada termo é uma derivada de
multiplicada por um coeficiente (aqui
constante e
para
). Não há termos como
,
,
ou produtos entre derivadas de
. Assim o operador
satisfaz a linearidade
. Portanto a equação é linear. (Além disso, como o lado direito é
, é uma equação linear homogênea.)
Passo 4
Resumo pedagógico e exemplos rápidos para fixar:
- Regra prática para ordem: procure a derivada de maior ordem; aqui
é de ordem , então ordem . - Regra prática para linearidade: se você pode somar duas soluções multiplicadas por escalares e obter outra solução (princípio da superposição), a equação é linear; isso ocorre quando
e suas derivadas aparecem apenas de forma linear. Exemplos contrastantes: - Linear:
(mesma estrutura que a nossa). - Não-linear:
(porque aparece o produto ).
- Linear:
Fica tranquilo: aqui a resposta é direta — ordem
e a equação é linear homogênea.
Resposta
Ordem:
Linearidade: linear (linear homogênea)
Linearidade: linear (linear homogênea)