Determinar a ordem de cada equação diferencial parcial. Dizer também se a equação é linear ou nāo-linear. As derivadas parciais estão simbolizadas pelos índices inferiores.
\alpha^{2} u_{x x}=u_{t}

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: (a) determinar a ordem da equação diferencial parcial e (b) dizer se a equação é linear ou não-linear.
A equação dada é \alpha^{2} u_{x x} = u_{t}.
Informações explícitas do enunciado que vamos usar: u_{xx} é a derivada parcial de segunda ordem de u em relação a x e u_{t} é a derivada parcial de primeira ordem de u em relação a t. Não há outras funções dependentes de u aparecendo no enunciado.

Passo 2

O que significa “ordem” de uma equação diferencial parcial?
A ordem de uma equação diferencial parcial é a maior ordem de derivada parcial de u que aparece na equação. Ou seja, listamos todas as derivadas parciais presentes e tomamos a maior ordem entre elas.
Na equação dada aparecem as derivadas u_{x x} (que é de ordem 2) e u_{t} (que é de ordem 1). A maior ordem é 2. Portanto a ordem da equação é 2.

Passo 3

O que significa “linear” para uma equação diferencial parcial?
Uma equação diferencial parcial é linear se a incógnita u e todas as suas derivadas aparecem apenas em combinações lineares — isto é, sem produtos entre u e suas derivadas, sem potências não-lineares de u (como u^{2}), e sem funções não-lineares de u. Formalmente, uma equação tem a forma linear se pode ser escrita como
L[u]=f,
onde L é um operador linear (ou seja, L[a u + b v]=a L[u]+b L[v] para quaisquer escalares a,b e funções u,v).
Reescrevendo a equação dada como
\alpha^{2} u_{xx} - u_{t} = 0,
vemos que cada termo é uma derivada de u multiplicada por um coeficiente (aqui \alpha^{2} constante e -1 para u_{t}). Não há termos como u\,u_{x}, u^{2}, \sin(u) ou produtos entre derivadas de u. Assim o operador
L[u]=\alpha^{2} u_{xx}-u_{t}
satisfaz a linearidade L[a u + b v]=a L[u]+b L[v]. Portanto a equação é linear. (Além disso, como o lado direito é 0, é uma equação linear homogênea.)

Passo 4

Resumo pedagógico e exemplos rápidos para fixar:
  • Regra prática para ordem: procure a derivada de maior ordem; aqui u_{xx} é de ordem 2, então ordem 2.
  • Regra prática para linearidade: se você pode somar duas soluções multiplicadas por escalares e obter outra solução (princípio da superposição), a equação é linear; isso ocorre quando u e suas derivadas aparecem apenas de forma linear. Exemplos contrastantes:
    • Linear: \;u_{t} = c\,u_{x x}\; (mesma estrutura que a nossa).
    • Não-linear: \;u_{t} = u\,u_{x}\; (porque aparece o produto u\,u_{x}).
Fica tranquilo: aqui a resposta é direta — ordem 2 e a equação é linear homogênea.

Resposta

Ordem: 2
Linearidade: linear (linear homogênea)

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