Sejam
. Determine a fórmula para cada função abaixo
Passo 1
O enunciado nos dá as funções
e pede para determinar a fórmula da função composta
.
Informações relevantes: as três funções estão definidas por fórmulas elementares e há uma divisão , o que impõe restrição de domínio onde
não pode ser zero. A resolução começa a partir desses dados.
Informações relevantes: as três funções estão definidas por fórmulas elementares e há uma divisão
Passo 2
Entender o que significa
. Por definição, a divisão de duas funções
e
é a função
com domínio formado pelos
tais que
pertence ao domínio comum de
e
e ainda satisfaça
. Aqui, como
, devemos excluir os
onde
.
Passo 3
Calcular explicitamente
usando as fórmulas dadas:
Essa expressão é a definição da tangente em trigonometria; portanto podemos escrever a forma simplificada a seguir.
Passo 4
Lembrar / aprender a identidade trigonométrica que define a tangente:
Aqui estou usando a notação padrão
para
; são a mesma função. Logo,
valendo para todos os
tais que
.
Passo 5
Entender a composição
com uma função
. Por definição,
ou seja, aplicamos primeiro
em
e depois aplicamos
ao resultado. No nosso caso tomamos
.
Passo 6
Aplicar a definição ao nosso caso. Como
para qualquer entrada
, temos
Substituindo
obtemos
Uma forma equivalente, sem usar
, é
Passo 7
Determinar o domínio da composição. Como já observado, a divisão
exige
. Portanto o domínio de
é o conjunto de todos os
reais tais que
, ou seja, excluindo
Resposta
Domínio: