Sejam f(x)=\operatorname{sen} x, g(x)=x^{2}, h(x)=\cos x. Determine a fórmula para cada função abaixo
g \circ(f / h)

Passo 1

O enunciado nos dá as funções
f(x)=\operatorname{sen}x,\qquad g(x)=x^{2},\qquad h(x)=\cos x
e pede para determinar a fórmula da função composta g\circ(f/h).
Informações relevantes: as três funções estão definidas por fórmulas elementares e há uma divisão f/h, o que impõe restrição de domínio onde h(x)=\cos x não pode ser zero. A resolução começa a partir desses dados.

Passo 2

Entender o que significa f/h. Por definição, a divisão de duas funções f e h é a função
\left(\frac{f}{h}\right)(x)=\frac{f(x)}{h(x)}
com domínio formado pelos x tais que x pertence ao domínio comum de f e h e ainda satisfaça h(x)\neq 0. Aqui, como h(x)=\cos x, devemos excluir os x onde \cos x=0.

Passo 3

Calcular explicitamente \left(\dfrac{f}{h}\right)(x) usando as fórmulas dadas:
\left(\frac{f}{h}\right)(x)=\frac{\operatorname{sen}x}{\cos x}.
Essa expressão é a definição da tangente em trigonometria; portanto podemos escrever a forma simplificada a seguir.

Passo 4

Lembrar / aprender a identidade trigonométrica que define a tangente:
\tan x=\frac{\sin x}{\cos x}.
Aqui estou usando a notação padrão \sin para \operatorname{sen}; são a mesma função. Logo,
\left(\frac{f}{h}\right)(x)=\tan x,
valendo para todos os x tais que \cos x\neq 0.

Passo 5

Entender a composição g\circ u com uma função u. Por definição,
(g\circ u)(x)=g\bigl(u(x)\bigr),
ou seja, aplicamos primeiro u em x e depois aplicamos g ao resultado. No nosso caso tomamos u=\dfrac{f}{h}.

Passo 6

Aplicar a definição ao nosso caso. Como g(t)=t^{2} para qualquer entrada t, temos
\bigl(g\circ(f/h)\bigr)(x)=g\!\left(\left(\frac{f}{h}\right)(x)\right)=\left(\left(\frac{f}{h}\right)(x)\right)^{2}.
Substituindo \left(\dfrac{f}{h}\right)(x)=\tan x obtemos
\bigl(g\circ(f/h)\bigr)(x)=\bigl(\tan x\bigr)^{2}.
Uma forma equivalente, sem usar \tan, é
\bigl(g\circ(f/h)\bigr)(x)=\frac{\sin^{2}x}{\cos^{2}x}.

Passo 7

Determinar o domínio da composição. Como já observado, a divisão f/h exige \cos x\neq 0. Portanto o domínio de g\circ(f/h) é o conjunto de todos os x reais tais que \cos x\neq 0, ou seja, excluindo
x=\frac{\pi}{2}+k\pi,\quad k\in\mathbb{Z}.

Resposta

\bigl(g\circ(f/h)\bigr)(x)=\tan^{2}x
Domínio: \{x\in\mathbb{R}\mid \cos x\neq 0\}=\mathbb{R}\setminus\{\tfrac{\pi}{2}+k\pi\mid k\in\mathbb{Z}\}

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