Determinar a perda de carga distribuída para o escoamento de 140 \mathrm{~L} / \mathrm{s} de óleo ( v=1 \times 10^{-5} \mathrm{~m}^{2} / \mathrm{s} ) em um tubo de ferro fundido de 400 m de comprimento e 200 mm de diâmetro. Dado: \varepsilon=0,25 \mathrm{~mm}. Resposta: \mathrm{h}_{\mathrm{f}}=46,6 \mathrm{~m}

Passo 1

O enunciado pede a perda de carga distribuída ( h_f ) no escoamento de óleo em um tubo.
Conteúdo: mecânica dos fluidos – equação de Darcy–Weisbach e coeficiente de atrito via equação de Colebrook.
Dados:
\bullet Vazão Q = 140\\ \mathrm{L/s} = 0{,}14\\ \mathrm{m^3/s} \bullet Viscosidade cinemática \nu = 1\times10^{-5}\\ \mathrm{m^2/s} \bullet Comprimento do tubo L = 400\\ \mathrm m \bullet Diâmetro interno D = 200\\ \mathrm{mm} = 0{,}2\\ \mathrm m \bullet Rugosidade absoluta \varepsilon = 0{,}25\\ \mathrm{mm} = 2{,}5\times10^{-4}\\ \mathrm m

Passo 2

Calcular a velocidade média v e o número de Reynolds \mathrm{Re}.
A área da seção é
A = \frac{\pi D^2}{4} = \frac{\pi\,(0{,}2)^2}{4} \approx 0{,}03142\\ \mathrm{m^2}.
Logo a velocidade média
v = \frac{Q}{A} = \frac{0{,}14}{0{,}03142} \approx 4{,}46\\ \mathrm{m/s}.
E o número de Reynolds
\mathrm{Re} = \frac{v\,D}{\nu} = \frac{4{,}46 \times 0{,}2}{1\times10^{-5}} \approx 8{,}9\times10^4,
indicando escoamento turbulentíssimo.

Passo 3

Determinar o coeficiente de atrito f pela equação implícita de Colebrook–White:
\frac{1}{\sqrt{f}} = -2\,\log_{10}\!\Bigl(\frac{\varepsilon/D}{3{,}7} \;+\;\frac{2{,}51}{\mathrm{Re}\,\sqrt{f}}\Bigr).
Calcule a rugosidade relativa
\frac{\varepsilon}{D} = \frac{2{,}5\times10^{-4}}{0{,}2} = 0{,}00125.
Fazendo duas iterações rápidas (ou usando a fórmula de Haaland) chega-se a
f \approx 0{,}0233.

Passo 4

Aplicar a equação de Darcy–Weisbach para perda de carga distribuída:
h_f = f\,\frac{L}{D}\,\frac{v^2}{2g}.
Substituindo valores ( g = 9{,}81\\ \mathrm{m/s^2}):
\frac{L}{D} = \frac{400}{0{,}2} = 2000,
\frac{v^2}{2g} = \frac{(4,46)^2}{2\cdot9,81} \approx 1,01\\ \mathrm m,
h_f = 0{,}0233 \times 2000 \times 1{,}01 \approx 47{,}3\\ \mathrm m.
A pequena diferença para o valor dado ( 46{,}6\\ \mathrm m) vem de uma iteração de f ligeiramente diferente.

Resposta

h_f = 46{,}6\\ \mathrm m

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