Deseja-se transportar água a 20^{\circ} \mathrm{C} com vazão de 800 \mathrm{~L} / \mathrm{min} do reservatório S para o reservatório D . A tubulação é de aço comercial com diâmetro nominal de 4^{\prime \prime} ( D_{\text {interno }}=0,10226 \mathrm{~m} ), rugosidade relativa igual a 0,0004 , com seis joelhos padrão de 90^{\circ}, sendo um na linha de sucção e 5 na linha de descarga e uma válvula globo, aberta, que se encontra instalada na linha de descarga. Calcule a perda de carga total e a potência útil da bomba. Utilize o método do comprimento equivalente. Considerando rendimento de 75 \%.
Sabendo que: L 1=3,5 \mathrm{~m} ; L 2=1,5 \mathrm{~m} ; L 3=0,5 \mathrm{~m} ; L 4=1,5 \mathrm{~m} ; L 5=5,0 \mathrm{~m} ; L 6=1,5 \mathrm{~m} ; L 7=1,5 \mathrm{~m}.

Passo 1

Temos água a 20^\circ\mathrm{C} com vazão
Q = 800~\mathrm{L/min} = 0{,}01333~\mathrm{m^3/s},
tubulação interna D=0{,}10226~\mathrm{m}, rugosidade relativa
\frac{\varepsilon}{D}=0{,}0004,
sete trechos de comprimento L_1 a L_7 (soma =15{,}0~\mathrm{m}),
seis cotovelos de 90^\circ (1 na sucção, 5 na descarga) e uma válvula globo aberta (na descarga).
Vamos calcular
  1. a perda de carga total h_f usando comprimento equivalente para as singularidades, e
  2. a potência da bomba (hidráulica e de eixo, considerando rendimento \eta=75\%).

Passo 2

Calcular a velocidade, o número de Reynolds e o fator de atrito pela equação de Colebrook:
A = \frac{\pi D^2}{4} = \frac{\pi\,(0{,}10226)^2}{4} \approx 0{,}008214~\mathrm{m^2},
v = \frac{Q}{A} = \frac{0{,}01333}{0{,}008214} \approx 1{,}62~\mathrm{m/s},
Re = \frac{v\,D}{\nu} = \frac{1{,}62\times0{,}10226}{1{,}0\times10^{-6}} \approx 1{,}66\times10^5.
A rugosidade absoluta é \varepsilon =0{,}0004\times D. Pela fórmula implícita de Colebrook–White:
\frac{1}{\sqrt{f}} = -2\,\log_{10}\!\Bigl(\frac{\varepsilon/D}{3{,}7} + \frac{2{,}51}{Re\,\sqrt{f}}\Bigr),
itera-se e encontra-se
f \approx 0{,}0187.

Passo 3

Converter as singularidades em comprimento equivalente:
  • Cada cotovelo de 90^\circ: L_e = 30\,D.
  • Válvula globo aberta: L_v = 340\,D.
    Total de comprimentos equivalentes
L_{\rm eq} = 6\cdot30\,D + 340\,D = 520\,D \quad\Longrightarrow\quad L_{\rm eq} = 520\times0{,}10226 \approx 53{,}16~\mathrm{m}.
Comprimento hidráulico total
L_{\rm tot} = L_1+\cdots+L_7 + L_{\rm eq} = 15{,}0 + 53{,}16 = 68{,}16~\mathrm{m}.
Perda de carga total
h_f = f\,\frac{L_{\rm tot}}{D}\,\frac{v^2}{2g} =0{,}0187\;\frac{68{,}16}{0{,}10226}\;\frac{(1{,}62)^2}{2\cdot9{,}81} \approx1{,}67~\mathrm{m}.

Passo 4

Potência hidráulica (útil na água):
P_h = \rho\,g\,Q\,h_f =1000\cdot9{,}81\cdot0{,}01333\cdot1{,}67 \approx0{,}219~\mathrm{kW}.
Potência de eixo da bomba (considerando \eta=75\%):
P_e = \frac{P_h}{\eta} = \frac{0{,}219}{0{,}75} \approx0{,}292~\mathrm{kW}.

Resposta

Perda de carga total h_f \approx 1{,}67~\mathrm{m}.
Potência hidráulica P_h \approx 0{,}22~\mathrm{kW} e potência de eixo P_e \approx 0{,}29~\mathrm{kW}.

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