Calcular o diâmetro de um tubo de aço \left(\mathrm{k}=4,6 \times 10^{-5} \mathrm{~m}\right) que deverá transportar uma vazão de 19 \mathrm{~L} / \mathrm{s} de querosene ( v=3 \times 10^{-6} \mathrm{~m}^{2} / \mathrm{s} ) a uma distância de 600 m , com uma perda de carga de 3 m . Esse caso só pode ser resolvido por tentativas. Resposta: \mathrm{D}_{\mathrm{H}}=0,165 \mathrm{~m}

Passo 1

O enunciado pede o diâmetro interno D de um tubo de aço (rugosidade k=4,6\times10^{-5}\,\mathrm{m}) que transporte vazão Q=19\,\mathrm{L/s}=0,019\,\mathrm{m^3/s} de querosene ( \nu=3\times10^{-6}\,\mathrm{m^2/s}) em comprimento L=600\,\mathrm{m} com perda de carga h_f=3\,\mathrm{m}. O conteúdo é a fórmula de Darcy–Weisbach para perda de carga e a equação implícita de Colebrook (aqui aproximada por Haaland). Vamos usar método de tentativas para ajustar D.

Passo 2

A velocidade média no tubo é
v_m = \frac{4\,Q}{\pi D^2}
e o número de Reynolds é
Re = \frac{v_m\,D}{\nu}.

Passo 3

Adotamos a fórmula de Haaland para o fator de atrito f:
\frac{1}{\sqrt{f}} = -1,8 \,\log_{10}\!\Bigl[\Bigl(\frac{k/D}{3,7}\Bigr)^{1,11} + \frac{6,9}{Re}\Bigr].

Passo 4

A perda de carga segundo Darcy–Weisbach é
h_f = f\,\frac{L}{D}\,\frac{v_m^2}{2g}, \quad g = 9,81\,\text{m/s}^2.

Passo 5

Fazemos duas tentativas para D:
D_{1} =0,15 m \Rightarrow v_m=1,075 m/s, Re\approx5{,}4\times10^4, f\approx0,0214 \Rightarrow
h_{f1} \approx 5,04\,\mathrm{m} > 3\,\mathrm{m}\quad(\text{tubo muito estreito})
D_{2} =0,17 m \Rightarrow v_m=0,837 m/s, Re\approx4,7\times10^4, f\approx0,0217 \Rightarrow
h_{f2} \approx 2,74\,\mathrm{m} < 3\,\mathrm{m}\quad(\text{tubo muito largo})

Passo 6

Interpolamos linearmente entre D_1 e D_2 para h_f=3\,\mathrm{m}:
D = D_1 + (D_2-D_1)\,\frac{h_f - h_{f1}}{h_{f2}-h_{f1}} =0,15 + (0,17-0,15)\,\frac{3 - 5,04}{2,74 - 5,04} \approx 0,165\,\mathrm{m}.

Resposta

O diâmetro hidráulico necessário é
D_H = 0,165\,\mathrm{m}.

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