Para determinar-se o período de oscilação de um pêndulo oscilando em pequena amplitude, dispõe-se de um cronômetro cujas medidas têm um desvio avaliado é s_{\mathrm{a}}= \pm 0,1 \mathrm{~s}.
a) Mostre que, se medirmos o tempo t de n oscilações, o período T e seu desvio s_{\mathrm{T}} são dados por \quad \mathrm{T} =t / n e s_{\mathrm{T}}=s_{\mathrm{a}} / n.
b) Mostre qual a forma mais precisa de determinar-se o período T: medir-se n vezes o tempo T-o período é o tempo de uma oscilação - e daí calcular-se T e s_{\mathrm{T}}; ou medir-se uma vez o tempo t de n oscilações e daí calcular-se T e s_{\mathrm{T}}.
Passo 1
O enunciado dá uma incerteza do cronômetro e pede duas coisas:
Informação dada: a incerteza (desvio) do cronômetro é s_{\mathrm{a}}=\pm 0,1\\ \mathrm{s}.
Pergunta (a): se medirmos o tempo t de n oscilações, mostrar que o período \mathrm{T} e seu desvio s_{\mathrm{T}} são\mathrm{T}=\frac{t}{n}\quad\text{e}\quad s_{\mathrm{T}}=\frac{s_{\mathrm{a}}}{n}.
Pergunta (b): comparar duas formas de medir o período e dizer qual é mais precisa:
Método I: medir o tempo de uma oscilação (o período) repetindo essa medição n vezes e usar a média e seu desvio.
Método II: medir uma vez o tempo t de n oscilações e dividir por n para obter o período; usar a incerteza correspondente.
Passo 2
Começando pela parte (a): relação entre t e \mathrm{T}.
Se em um único cronômetro se mede o tempo total de n oscilações e esse tempo é t, então por definição o período (tempo de uma oscilação) é o tempo total dividido pelo número de oscilações. Logo\mathrm{T}=\frac{t}{n}.
Isto é apenas a definição aritmética de média simples do tempo por oscilação quando as oscilações são uniformes.
Passo 3
Regra de propagação de incerteza para multiplicação/divisão por constante (mini-aula):
Se uma grandeza x tem incerteza absoluta s_x e definimos y = c\,x com c constante (real), então a incerteza absoluta em y és_y = |c|\,s_x.
Explicação intuitiva: multiplicar ou dividir por uma constante escala igualmente as incertezas absolutas. Exemplo simples: se x=10\pm1 e y=x/2, então y=5 e a incerteza em y é 1/2, ou seja y=5\pm 0,5.
Passo 4
Aplicando a regra à parte (a):
Temos \mathrm{T}=\dfrac{t}{n}. Trate 1/n como a constante c.
A incerteza absoluta em t é s_t. No enunciado, a incerteza do cronômetro é s_{\mathrm{a}}, e como estamos fazendo uma única medição de t ela vale s_t=s_{\mathrm{a}}.
Pela regra,s_{\mathrm{T}}=\left|\frac{1}{n}\right| s_t=\frac{s_{\mathrm{a}}}{n}.
Isso prova a relação pedida: \mathrm{T}=t/n e s_{\mathrm{T}}=s_{\mathrm{a}}/n.
Passo 5
Agora a parte (b): descrever com precisão os dois métodos e calcular suas incertezas teóricas (assumindo que o erro do cronômetro em cada medida é caracterizado por s_{\mathrm{a}} e que medidas independentes têm erros independentes).
Método I (medir uma oscilação n vezes):
Faço n medições independentes do período: T_1,T_2,\dots,T_n. Cada medição tem incerteza absoluta s_{\mathrm{a}}.
A melhor estimativa do período é a média amostral\overline{T}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}T_i.
Para n medidas independentes com mesma variância, a incerteza (desvio padrão) da média é a incerteza individual dividida por \sqrt{n}. Assim a incerteza na média és_{\overline{T}}=\frac{s_{\mathrm{a}}}{\sqrt{n}}.
Mini-aula curta do porquê: variância da soma de n medições independentes soma as variâncias; então variância da média é \sigma^2/n, tomando raiz obtém \sigma/\sqrt{n}.
Passo 6
Método II (medir uma vez o tempo t de n oscilações e dividir por n):
Como já mostrado na parte (a), a estimativa é \mathrm{T}=\dfrac{t}{n}.
A incerteza em t (uma única medição do cronômetro) é s_{\mathrm{a}}.
Pela regra de propagação para divisão por constante,s_{\mathrm{T}}=\frac{s_{\mathrm{a}}}{n}.
Para n>1 vale\frac{s_{\mathrm{a}}}{n} < \frac{s_{\mathrm{a}}}{\sqrt{n}}porque dividir por n dá um número menor que dividir por \sqrt{n} quando n>1. Portanto, para qualquer n>1 o Método II produz uma incerteza menor (melhor precisão).
Resultado: medir o tempo de 10 oscilações de uma vez e dividir por 10 reduz a incerteza em cerca de fator 3,16 aqui — claramente melhor.
Passo 9
Intuição prática e observações finais (amigáveis):
Medir muitas oscilações de uma vez “amplia” o tempo total observado, e a incerteza absoluta do cronômetro fica diluída ao dividir pelo número de oscilações; por isso o erro por oscilação fica menor.
Conclusão prática: quando possível, conte muitas oscilações e cronometre o total; só no caso de ser impossível registrar várias oscilações de seguida é que se recorre a medidas individuais e média.
Resposta
a) \mathrm{T}=\dfrac{t}{n} e s_{\mathrm{T}}=\dfrac{s_{\mathrm{a}}}{n}.
b) Medir uma vez o tempo t de n oscilações e calcular \mathrm{T}=t/n (com s_{\mathrm{T}}=s_{\mathrm{a}}/n) é mais preciso do que medir o período uma vez e repetir n medidas (onde a incerteza da média seria s_{\mathrm{a}}/\sqrt{n}), pois \dfrac{s_{\mathrm{a}}}{n}<\dfrac{s_{\mathrm{a}}}{\sqrt{n}} para n>1.