Num experimento sobre conservação de energia, obteve-se para as energias inicial e final do sistema, \mathrm{E}_{\mathrm{i}} =0,8540 \mathrm{~J}, s_{\mathrm{i}}= \pm 0,0012 \mathrm{~J}; e \mathrm{E}_{\mathrm{f}}=0,8600 \mathrm{~J}, s_{\mathrm{f}}= \pm 0,0025 \mathrm{~J}. Verifique se, dentro de dois desvios padrões, esses dados satisfazem à lei de conservação \mathrm{E}_{\mathrm{f}}-\mathrm{E}_{\mathrm{i}}=0.

Passo 1

O enunciado dá os seguintes valores (peguei-os do texto do problema) e pede para verificar se, dentro de dois desvios-padrão, os dados satisfazem \mathrm{E}_{\mathrm{f}}-\mathrm{E}_{\mathrm{i}}=0.
  • Energia inicial: \mathrm{E}_{\mathrm{i}}=0,8540\\ \mathrm{J}.
  • Incerteza (desvio-padrão) da inicial: s_{\mathrm{i}}=0,0012\\ \mathrm{J}.
  • Energia final: \mathrm{E}_{\mathrm{f}}=0,8600\\ \mathrm{J}.
  • Incerteza (desvio-padrão) da final: s_{\mathrm{f}}=0,0025\\ \mathrm{J}.
A pergunta é: os valores são compatíveis com \mathrm{E}_{\mathrm{f}}-\mathrm{E}_{\mathrm{i}}=0 quando se considera um intervalo de confiança de duas vezes o desvio-padrão da diferença?

Passo 2

Calcular a diferença observada entre final e inicial:
\Delta E = \mathrm{E}_{\mathrm{f}}-\mathrm{E}_{\mathrm{i}} = 0,8600-0,8540.
Efetuando a subtração:
\Delta E = 0,0060\\ \mathrm{J}.

Passo 3

Explicar como obter a incerteza da diferença (aula rápida e prática).
  • Quando duas medidas independentes A e B têm incertezas (desvios-padrão) s_A e s_B, a incerteza da diferença A-B é dada pela raiz da soma dos quadrados das incertezas (porque as variâncias somam):
s_{A-B}=\sqrt{s_A^{2}+s_B^{2}}.
  • Aqui assumimos que \mathrm{E}_{\mathrm{i}} e \mathrm{E}_{\mathrm{f}} são medidas independentes (caso contrário seria preciso considerar covariância). Esse é o procedimento padrão em provas e laboratórios.
Aplicando ao caso:
s_{\Delta}=\sqrt{s_{\mathrm{i}}^{2}+s_{\mathrm{f}}^{2}} =\sqrt{(0,0012)^{2}+(0,0025)^{2}}.
Calculemos os quadrados passo a passo:
(0,0012)^{2}=1,44\times10^{-6}, \qquad (0,0025)^{2}=6,25\times10^{-6}.
Somando:
1,44\times10^{-6}+6,25\times10^{-6}=7,69\times10^{-6}.
Agora a raiz:
s_{\Delta}=\sqrt{7,69\times10^{-6}}=0,002773\\ \mathrm{J}\\ (\text{aprox.}).

Passo 4

Comparação com dois desvios-padrão:
  • Dois desvios-padrão da diferença valem
2s_{\Delta}=2\cdot0,002773=0,005546\\ \mathrm{J}\\ (\text{aprox.}).
  • Agora compare o valor absoluto da diferença com 2s_{\Delta}:
|\Delta E| = 0,0060\\ \mathrm{J},\qquad 2s_{\Delta}=0,005546\\ \mathrm{J}.
Vê-se que 0,0060>0,005546, ou seja |\Delta E|>2s_{\Delta}.
Opcional (pontuação): pode calcular um “z-score” da diferença em unidades de sigma:
z=\frac{|\Delta E|}{s_{\Delta}}=\frac{0,0060}{0,002773}\approx2,16,
o que confirma que a diferença é pouco maior que 2 desvios-padrão.

Passo 5

Interpretação final (como usar isso na prova):
  • Regra prática: se |\Delta E|\le2s_{\Delta}, a diferença é compatível com zero dentro de dois desvios-padrão (ou seja, compatível com a conservação de energia ao nível de confiança aproximado de 95 %). Se |\Delta E|>2s_{\Delta}, então a diferença é maior do que aceitável por esse critério e os dados não são compatíveis com \Delta E=0 ao nível de dois desvios-padrão.
  • No nosso caso |\Delta E|>2s_{\Delta}, portanto os dados não satisfazem \mathrm{E}_{\mathrm{f}}-\mathrm{E}_{\mathrm{i}}=0 dentro de dois desvios-padrão. Isso pode indicar um pequeno efeito físico real, erro sistemático, ou apenas flutuação estatística ligeiramente fora do intervalo de 95 %; em laboratório convém checar sistemáticos e repetir medições.

Resposta

Não; \Delta E=0,0060\\ \mathrm{J} e 2s_{\Delta}=0,005546\\ \mathrm{J}, portanto |\Delta E|>2s_{\Delta} e os dados não são compatíveis com \mathrm{E}_{\mathrm{f}}-\mathrm{E}_{\mathrm{i}}=0 dentro de dois desvios-padrão.

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