Um disco de momento de inércia I=(6,033 \pm 0,013) \times 10^{-3} \mathrm{~kg} \cdot \mathrm{~m}^{2} - em relação ao baricentro do disco — é feito girar pela ação duma massa m=50,0 \pm 0,1 \mathrm{~g} presa na ponta dum cordão que se desenrola sem escorregar de um tambor de raio r=(1,750 \pm 0,005) \times 10^{-2} \mathrm{~m} solidário ao disco. Solta, a massa desce de uma altura h=1,750 \pm 0,001 \mathrm{~m} num tempo t=12,00 \pm 0,14 \mathrm{~s}. Nessas condições, a energia rotacional \mathrm{E}_{\mathrm{R}} do disco é dada pela expressão \mathrm{E}_{\mathrm{R}}=2 I h^{2} /\left(t^{2} r^{2}\right). Calcule \mathrm{E}_{\mathrm{R}} e seu desvio padrão.

Passo 1

O que o enunciado pede e os dados fornecidos:
  • Pede-se calcular a energia rotacional \mathrm{E}_{\mathrm{R}} do disco e o desvio padrão dessa energia, usando a expressão dada.
  • Dados (pegos do enunciado), com suas incertezas:
    • Momento de inércia: I=(6,033\pm0,013)\times10^{-3}\\ \mathrm{kg\cdot m^{2}}.
    • Raio do tambor: r=(1,750\pm0,005)\times10^{-2}\\ \mathrm{m}.
    • Altura descida: h=1,750\pm0,001\\ \mathrm{m}.
    • Tempo de descida: t=12,00\pm0,14\\ \mathrm{s}.
  • A fórmula fornecida para a energia rotacional é
\mathrm{E}_{\mathrm{R}}=\frac{2 I h^{2}}{t^{2} r^{2}}.
  • Observação: a massa m citada no enunciado não aparece na expressão pedida, logo não é usada nos cálculos.

Passo 2

Entendendo a fórmula e as variáveis (aula curta sobre a fórmula)
  • A expressão \mathrm{E}_{\mathrm{R}}=\dfrac{2 I h^{2}}{t^{2} r^{2}} tem as variáveis:
    • I: momento de inércia do disco (unidade \mathrm{kg\cdot m^{2}}).
    • h: distância vertical que a massa desceu (unidade \mathrm{m}).
    • t: tempo de descida (unidade \mathrm{s}).
    • r: raio do tambor solidário ao disco (unidade \mathrm{m}).
  • A fórmula combina essas grandezas: h aparece ao quadrado (a energia cresce com h^{2}), enquanto t e r aparecem no denominador ao quadrado (tempo maior ou raio maior diminuem \mathrm{E}_{\mathrm{R}} segundo essa expressão).
  • Para propagar incertezas em uma função do tipo f=C\prod x_{i}^{a_{i}} (produto de potências), a regra conveniente é usar a forma relativa:
\left(\frac{\sigma_{f}}{f}\right)^{2}=\sum_{i} \left(a_{i}\, \frac{\sigma_{x_{i}}}{x_{i}}\right)^{2},
onde \sigma_{x_{i}} é o desvio padrão de x_{i} e a_{i} é o expoente de x_{i}. Essa fórmula vem diretamente da expansão em série de Taylor (ou das derivadas parciais): \sigma_{f}^{2}=\sum(\partial f/\partial x_{i})^{2}\sigma_{x_{i}}^{2}. Aqui ela é prática porque cada variável aparece com potência inteira.

Passo 3

Cálculo numérico de \mathrm{E}_{\mathrm{R}} (substituição direta e contas passo a passo)
  • Primeiro escrevo os valores numéricos em forma conveniente: I=6{,}033\times10^{-3}\\ \mathrm{kg\cdot m^{2}},\quad h=1{,}750\\ \mathrm{m},\quad t=12{,}00\\ \mathrm{s},\quad r=1{,}750\times10^{-2}\\ \mathrm{m}.
  • Calculo h^{2}, r^{2} e t^{2}: h^{2}=(1{,}750)^{2}=3{,}0625,
r^{2}=(1{,}750\times10^{-2})^{2}=0{,}01750^{2}=0{,}00030625,
t^{2}=(12{,}00)^{2}=144{,}00.
  • Calculo o numerador 2 I h^{2}: 2 I h^{2}=2\cdot(6{,}033\times10^{-3})\cdot 3{,}0625 =0{,}012066\cdot3{,}0625=0{,}036952125.
  • Calculo o denominador t^{2} r^{2}: t^{2} r^{2}=144{,}00\cdot0{,}00030625=0{,}04410.
  • Finalmente, \mathrm{E}_{\mathrm{R}}=\frac{0{,}036952125}{0{,}04410}\approx0{,}8380\\ \mathrm{J}.(arredondei aqui para quatro casas decimais iniciais; a forma final será ajustada ao considerar a incerteza).

Passo 4

Propagação das incertezas (aplicando a regra de potências)
  • Como \mathrm{E}_{\mathrm{R}} é do tipo C I^{1} h^{2} t^{-2} r^{-2}, aplicamos a regra: \left(\frac{\sigma_{\mathrm{E}}}{\mathrm{E}}\right)^{2} =\left(\frac{\sigma_{I}}{I}\right)^{2} +\left(2\frac{\sigma_{h}}{h}\right)^{2} +\left(2\frac{\sigma_{t}}{t}\right)^{2} +\left(2\frac{\sigma_{r}}{r}\right)^{2}.
  • Agora calculo cada razão relativa \sigma_{x}/x usando os valores dados: \frac{\sigma_{I}}{I}=\frac{0{,}013\times10^{-3}}{6{,}033\times10^{-3}}=\frac{0{,}000013}{0{,}006033}\approx0{,}002155,
\frac{\sigma_{h}}{h}=\frac{0{,}001}{1{,}750}=0{,}0005714\ldots,
\frac{\sigma_{t}}{t}=\frac{0{,}14}{12{,}00}=0{,}0116667\ldots,
\frac{\sigma_{r}}{r}=\frac{0{,}005\times10^{-2}}{1{,}750\times10^{-2}}=\frac{0{,}00005}{0{,}01750}=0{,}0028571\ldots.
(repare que converti \sigma_{r}=(0{,}005\times10^{-2})\\ \mathrm{m}=0{,}00005\\ \mathrm{m}.)
  • Agora as contribuições ao quadrado: \left(\frac{\sigma_{I}}{I}\right)^{2}\approx(0{,}002155)^{2}=4{,}646\times10^{-6},
\left(2\frac{\sigma_{h}}{h}\right)^{2}=(2\cdot0{,}0005714)^{2}=(0{,}0011428)^{2}=1{,}306\times10^{-6},
\left(2\frac{\sigma_{t}}{t}\right)^{2}=(2\cdot0{,}0116667)^{2}=(0{,}0233333)^{2}=5{,}4444\times10^{-4},
\left(2\frac{\sigma_{r}}{r}\right)^{2}=(2\cdot0{,}0028571)^{2}=(0{,}0057142)^{2}=3{,}265\times10^{-5}.
  • Somando as contribuições: \left(\frac{\sigma_{\mathrm{E}}}{\mathrm{E}}\right)^{2} \approx 4{,}646\times10^{-6}+1{,}306\times10^{-6}+5{,}4444\times10^{-4}+3{,}265\times10^{-5} =5{,}82042\times10^{-4}.
  • Portanto a incerteza relativa é \frac{\sigma_{\mathrm{E}}}{\mathrm{E}}=\sqrt{5{,}82042\times10^{-4}}\approx0{,}02412\quad(\text{ou }2{,}412\%).

Passo 5

Cálculo da incerteza absoluta e arredondamento final (como apresentar na prova)
  • A incerteza absoluta é \sigma_{\mathrm{E}}=\mathrm{E}\cdot\frac{\sigma_{\mathrm{E}}}{\mathrm{E}} \approx0{,}8380\times0{,}02412\approx0{,}02023\\ \mathrm{J}.
  • Regra prática para apresentação: arredonda-se a incerteza para 1 ou 2 algarismos significativos (aqui uso dois algarismos significativos: 0{,}020\\ \mathrm{J}) e então ajusta-se o valor central para a mesma casa decimal. Assim: \mathrm{E}_{\mathrm{R}}=(0{,}838\pm0{,}020)\\ \mathrm{J}.
  • Se preferir com mais dígitos na incerteza (mantendo coerência): \mathrm{E}_{\mathrm{R}}=(0{,}8380\pm0{,}0202)\\ \mathrm{J}.

Resposta

\mathrm{E}_{\mathrm{R}}=(0{,}838\pm0{,}020)\\ \mathrm{J}

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