Um disco de momento de inércia
- em relação ao baricentro do disco — é feito girar pela ação duma massa
presa na ponta dum cordão que se desenrola sem escorregar de um tambor de raio
solidário ao disco. Solta, a massa desce de uma altura
num tempo
. Nessas condições, a energia rotacional
do disco é dada pela expressão
. Calcule
e seu desvio padrão.
Passo 1
O que o enunciado pede e os dados fornecidos:
- Pede-se calcular a energia rotacional
do disco e o desvio padrão dessa energia, usando a expressão dada. - Dados (pegos do enunciado), com suas incertezas:
- Momento de inércia:
. - Raio do tambor:
. - Altura descida:
. - Tempo de descida:
.
- Momento de inércia:
- A fórmula fornecida para a energia rotacional é
- Observação: a massa
citada no enunciado não aparece na expressão pedida, logo não é usada nos cálculos.
Passo 2
Entendendo a fórmula e as variáveis (aula curta sobre a fórmula)
- A expressão
tem as variáveis: -
: momento de inércia do disco (unidade ). -
: distância vertical que a massa desceu (unidade ). -
: tempo de descida (unidade ). -
: raio do tambor solidário ao disco (unidade ).
-
- A fórmula combina essas grandezas:
aparece ao quadrado (a energia cresce com ), enquanto e aparecem no denominador ao quadrado (tempo maior ou raio maior diminuem segundo essa expressão). - Para propagar incertezas em uma função do tipo
(produto de potências), a regra conveniente é usar a forma relativa:
onde
é o desvio padrão de
e
é o expoente de
. Essa fórmula vem diretamente da expansão em série de Taylor (ou das derivadas parciais):
. Aqui ela é prática porque cada variável aparece com potência inteira.
Passo 3
Cálculo numérico de
(substituição direta e contas passo a passo)
- Primeiro escrevo os valores numéricos em forma conveniente:
- Calculo
, e :
- Calculo o numerador
: - Calculo o denominador
: - Finalmente,
(arredondei aqui para quatro casas decimais iniciais; a forma final será ajustada ao considerar a incerteza).
Passo 4
Propagação das incertezas (aplicando a regra de potências)
- Como
é do tipo , aplicamos a regra: - Agora calculo cada razão relativa
usando os valores dados:
(repare que converti
.)
- Agora as contribuições ao quadrado:
- Somando as contribuições:
- Portanto a incerteza relativa é
Passo 5
Cálculo da incerteza absoluta e arredondamento final (como apresentar na prova)
- A incerteza absoluta é
- Regra prática para apresentação: arredonda-se a incerteza para 1 ou 2 algarismos significativos (aqui uso dois algarismos significativos:
) e então ajusta-se o valor central para a mesma casa decimal. Assim: - Se preferir com mais dígitos na incerteza (mantendo coerência):