Determinar um plano que seja paralelo ao plano \beta: 5 x+2 y-2 z+1=0 e tangente ao gráfico da função z=f(x, y)=x^{2}+x y .
\quad(\operatorname{Resp}: 5 x+2 y-2 z-3=0))

Passo 1

O enunciado nos dá claramente as seguintes informações e pede uma única coisa:
  • Dado o plano \beta cuja equação é \;5x+2y-2z+1=0\;.
  • Dada a função z=f(x,y)=x^{2}+xy, cujo gráfico é a superfície \{(x,y,z)\mid z=f(x,y)\}.
  • O que é pedido: determinar um plano que seja paralelo ao plano \beta e que seja tangente ao gráfico de f.
Informações relevantes que extrairemos mais tarde:
  • A equação do plano \beta fornece um vetor normal a \beta.
  • Um plano tangente à superfície z=f(x,y) em um ponto (x_{0},y_{0},z_{0}) pode ser escrito em termos das derivadas parciais de f nesse ponto.

Passo 2

Entender o formato da equação do plano tangente a uma superfície dada por z=f(x,y) (aulas rápidas: derivadas parciais e plano tangente).
  • Para uma função f(x,y), as derivadas parciais são definidas por
    f_x(x,y)=\frac{\partial f}{\partial x},\qquad f_y(x,y)=\frac{\partial f}{\partial y},
    onde f_x mede a taxa de variação de f quando só x varia e f_y mede a taxa de variação quando só y varia.
  • O plano tangente à superfície z=f(x,y) no ponto (x_{0},y_{0},z_{0}), com z_{0}=f(x_{0},y_{0}), é dado pela fórmula padrão (esta é uma fórmula que convém decorar e entender):
    z = f(x_{0},y_{0}) + f_x(x_{0},y_{0})(x-x_{0}) + f_y(x_{0},y_{0})(y-y_{0}).
    Explicando: a ideia é aproximar a superfície por um plano que usa as inclinações nas direções x e y dadas por f_x e f_y.
  • Podemos também escrever o plano tangente em forma com normal. Rearranjando a fórmula do plano tangente:
    f_x(x_{0},y_{0})(x-x_{0}) + f_y(x_{0},y_{0})(y-y_{0}) - (z - f(x_{0},y_{0})) = 0.
    A partir daí vemos que um vetor normal ao plano tangente é
    \bigl(f_x(x_{0},y_{0}),\; f_y(x_{0},y_{0}),\; -1\bigr).
    (Intuição: o coeficiente de x no formato linear dá a componente x do normal, idem para y, e o coeficiente de z é -1.)

Passo 3

Obter o vetor normal do plano \beta dado e escrever a condição de paralelismo de planos.
  • Da equação \;5x+2y-2z+1=0\; extraímos o vetor normal de \beta:
    \mathbf{n}_{\beta}=(5,\;2,\;-2).
  • Dois planos são paralelos se e somente se seus vetores normais são paralelos (ou seja, proporcionais). Portanto, o vetor normal do plano tangente deve ser proporcional a \mathbf{n}_{\beta}.
  • Usando a forma do normal do plano tangente, exigimos existência de \lambda\in\mathbb{R} tal que
    \bigl(f_x(x_{0},y_{0}),\; f_y(x_{0},y_{0}),\; -1\bigr) = \lambda\,(5,\;2,\;-2).

Passo 4

Resolver a proporcionalidade componente a componente para obter \lambda e condições sobre f_x e f_y.
Da igualdade vetorial, temos as três igualdades:
f_x(x_{0},y_{0}) = 5\lambda,
f_y(x_{0},y_{0}) = 2\lambda,
-1 = -2\lambda.
Da terceira igualdade calculamos \lambda:
-1 = -2\lambda \quad\Rightarrow\quad \lambda=\tfrac{1}{2}.
Substituindo \lambda=\tfrac{1}{2} nas duas primeiras igualdades obtemos os valores que as derivadas parciais devem assumir no ponto de tangência:
f_x(x_{0},y_{0}) = 5\cdot\tfrac{1}{2} = \tfrac{5}{2},
f_y(x_{0},y_{0}) = 2\cdot\tfrac{1}{2} = 1.

Passo 5

Calcular as derivadas parciais de f e resolver para (x_{0},y_{0}).
  • A função dada é f(x,y)=x^{2}+xy. Calculamos as parciais: f_x(x,y)=\frac{\partial}{\partial x}(x^{2}+xy)=2x+y,
f_y(x,y)=\frac{\partial}{\partial y}(x^{2}+xy)=x.
  • Impondo as condições da etapa anterior: f_y(x_{0},y_{0})=x_{0}=1 \quad\Rightarrow\quad x_{0}=1.
f_x(x_{0},y_{0})=2x_{0}+y_{0}=\tfrac{5}{2}.
Substituindo x_{0}=1 na segunda igualdade:
2\cdot 1 + y_{0} = \tfrac{5}{2} \quad\Rightarrow\quad 2 + y_{0} = \tfrac{5}{2}.
Então
y_{0} = \tfrac{5}{2} - 2 = \tfrac{1}{2}.
Portanto o ponto de tangência no domínio é \;(x_{0},y_{0})=\bigl(1,\tfrac{1}{2}\bigr).

Passo 6

Determinar a coordenada z_{0} do ponto de tangência na superfície e montar a equação do plano tangente.
  • Calculamos z_{0}=f(x_{0},y_{0}):
    z_{0}=f\!\left(1,\tfrac{1}{2}\right)=1^{2}+1\cdot\tfrac{1}{2}=1+\tfrac{1}{2}=\tfrac{3}{2}.
  • Usamos a fórmula do plano tangente:
    z = f(x_{0},y_{0}) + f_x(x_{0},y_{0})(x-x_{0}) + f_y(x_{0},y_{0})(y-y_{0}).
    Substituindo os valores f(x_{0},y_{0})=\tfrac{3}{2}, f_x(x_{0},y_{0})=\tfrac{5}{2}, f_y(x_{0},y_{0})=1, x_{0}=1, y_{0}=\tfrac{1}{2}:
    z = \tfrac{3}{2} + \tfrac{5}{2}(x-1) + 1\cdot\Bigl(y-\tfrac{1}{2}\Bigr).

Passo 7

Simplificar a equação do plano e colocá-la na forma padrão.
  • Expandindo e simplificando:
    z = \tfrac{3}{2} + \tfrac{5}{2}x - \tfrac{5}{2} + y - \tfrac{1}{2}.
    Agrupando constantes:
    z = \tfrac{5}{2}x + y + \Bigl(\tfrac{3}{2}-\tfrac{5}{2}-\tfrac{1}{2}\Bigr) = \tfrac{5}{2}x + y - \tfrac{3}{2}.
  • Multiplicando por 2 para evitar frações:
    2z = 5x + 2y - 3.
    Colocando tudo do mesmo lado:
    5x + 2y - 2z - 3 = 0.
  • Observação rápida de verificação: o vetor normal deste plano é (5,2,-2), que é exatamente o vetor normal de \beta, logo os planos são de fato paralelos (como pedido).

Resposta

5x+2y-2z-3=0

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