Determinar um plano que seja paralelo ao plano
e tangente ao gráfico da função
\quad(\operatorname{Resp}: 5 x+2 y-2 z-3=0))
\quad(\operatorname{Resp}: 5 x+2 y-2 z-3=0))
Passo 1
O enunciado nos dá claramente as seguintes informações e pede uma única coisa:
- Dado o plano
cuja equação é . - Dada a função
, cujo gráfico é a superfície . - O que é pedido: determinar um plano que seja paralelo ao plano
e que seja tangente ao gráfico de .
Informações relevantes que extrairemos mais tarde:
- A equação do plano
fornece um vetor normal a . - Um plano tangente à superfície
em um ponto pode ser escrito em termos das derivadas parciais de nesse ponto.
Passo 2
Entender o formato da equação do plano tangente a uma superfície dada por
(aulas rápidas: derivadas parciais e plano tangente).
-
Para uma função
, as derivadas parciais são definidas por ondemede a taxa de variação de quando só varia e mede a taxa de variação quando só varia. -
O plano tangente à superfície
no ponto , com , é dado pela fórmula padrão (esta é uma fórmula que convém decorar e entender): Explicando: a ideia é aproximar a superfície por um plano que usa as inclinações nas direçõese dadas por e . -
Podemos também escrever o plano tangente em forma com normal. Rearranjando a fórmula do plano tangente:A partir daí vemos que um vetor normal ao plano tangente é(Intuição: o coeficiente de
no formato linear dá a componente do normal, idem para , e o coeficiente de é .)
Passo 3
Obter o vetor normal do plano
dado e escrever a condição de paralelismo de planos.
-
Da equação
extraímos o vetor normal de : -
Dois planos são paralelos se e somente se seus vetores normais são paralelos (ou seja, proporcionais). Portanto, o vetor normal do plano tangente deve ser proporcional a
. -
Usando a forma do normal do plano tangente, exigimos existência de
tal que
Passo 4
Resolver a proporcionalidade componente a componente para obter
e condições sobre
e
.
Da igualdade vetorial, temos as três igualdades:
Da terceira igualdade calculamos
:
Substituindo
nas duas primeiras igualdades obtemos os valores que as derivadas parciais devem assumir no ponto de tangência:
Passo 5
Calcular as derivadas parciais de
e resolver para
.
- A função dada é
. Calculamos as parciais:
- Impondo as condições da etapa anterior:
Substituindo
na segunda igualdade:
Então
Portanto o ponto de tangência no domínio é
.
Passo 6
Determinar a coordenada
do ponto de tangência na superfície e montar a equação do plano tangente.
-
Calculamos
: -
Usamos a fórmula do plano tangente:Substituindo os valores
, , , , :
Passo 7
Simplificar a equação do plano e colocá-la na forma padrão.
-
Expandindo e simplificando:Agrupando constantes:
-
Multiplicando por
para evitar frações: Colocando tudo do mesmo lado: -
Observação rápida de verificação: o vetor normal deste plano é
, que é exatamente o vetor normal de , logo os planos são de fato paralelos (como pedido).