Sendo 4 x+y-4 z=0 a equação do plano tangente ao gráfico de f(x, y) no ponto P= \left(\frac{1}{2}, 0, f\left(\frac{1}{2}, 0\right)\right), calcule os valores de \frac{\partial f}{\partial x}\left(\frac{1}{2}, 0\right) e \frac{\partial f}{\partial y}\left(\frac{1}{2}, 0\right) .
\left(\right.) Resp: \frac{\partial f}{\partial x}\left(\frac{1}{2}, 0\right)=1 \mathrm{e} \left.\frac{\partial f}{\partial y}\left(\frac{1}{2}, 0\right)=\frac{1}{4}\right)

Passo 1

O enunciado nos dá:
  • A equação do plano tangente ao gráfico de f(x,y) no ponto P é 4x+y-4z=0.
  • O ponto de tangência é P=\left(\tfrac{1}{2},0,f\!\left(\tfrac{1}{2},0\right)\right).
O que se pede:
  • Calcular \dfrac{\partial f}{\partial x}\!\left(\tfrac{1}{2},0\right).
  • Calcular \dfrac{\partial f}{\partial y}\!\left(\tfrac{1}{2},0\right).

Passo 2

Conceito importante (explicado como se fosse uma dica de prova):
  • O gráfico de f é a superfície z=f(x,y).
  • A equação do plano tangente a z=f(x,y) no ponto (x_0,y_0,z_0) é, por definição da linearização,
z-z_0=\frac{\partial f}{\partial x}(x_0,y_0)\,(x-x_0)+\frac{\partial f}{\partial y}(x_0,y_0)\,(y-y_0).
Aqui \dfrac{\partial f}{\partial x}(x_0,y_0) é a inclinação da superfície quando se move na direção x (mantendo y fixo), e \dfrac{\partial f}{\partial y}(x_0,y_0) é a inclinação quando se move na direção y (mantendo x fixo). Na prática, para achar essas derivadas basta pôr a equação do plano tangente na forma linear acima e identificar os coeficientes de x-x_0 e y-y_0.

Passo 3

Colocar a equação dada na forma explícita z= (útil para comparar). A equação do plano é
4x+y-4z=0.
Isolando z,
4z=4x+y \quad\Rightarrow\quad z=x+\tfrac{1}{4}y.

Passo 4

Determinar o valor z_0=f\!\left(\tfrac{1}{2},0\right) usando a equação do plano (o ponto P pertence ao plano tangente, logo suas coordenadas satisfazem a equação):
Substituindo x=\tfrac{1}{2} e y=0 em z=x+\tfrac{1}{4}y,
z_0=f\!\left(\tfrac{1}{2},0\right)=\tfrac{1}{2}+ \tfrac{1}{4}\cdot 0=\tfrac{1}{2}.

Passo 5

Escrever a forma padrão do plano tangente em torno de (x_0,y_0,z_0)=\big(\tfrac{1}{2},0,\tfrac{1}{2}\big):
z-z_0=\frac{\partial f}{\partial x}\!\left(\tfrac{1}{2},0\right)\,(x-\tfrac{1}{2})+\frac{\partial f}{\partial y}\!\left(\tfrac{1}{2},0\right)\,(y-0).
Agora usar a expressão encontrada em Passo 3 para z:
z-z_0=\bigl(x+\tfrac{1}{4}y\bigr)-\tfrac{1}{2}=(x-\tfrac{1}{2})+\tfrac{1}{4}y.
Comparando termo a termo com a forma padrão, o coeficiente de (x-\tfrac{1}{2}) é 1 e o coeficiente de y (ou de (y-0)) é \tfrac{1}{4}. Portanto
\frac{\partial f}{\partial x}\!\left(\tfrac{1}{2},0\right)=1, \qquad \frac{\partial f}{\partial y}\!\left(\tfrac{1}{2},0\right)=\tfrac{1}{4}.

Passo 6

Interpretação rápida para fixar a ideia: significa que, perto do ponto \big(\tfrac{1}{2},0\big), se y ficar fixo e x aumentar de 0{,}01, então f aumenta aproximadamente 0{,}01 (porque \partial f/\partial x=1); se x ficar fixo e y aumentar de 0{,}01, então f aumenta aproximadamente 0{,}0025 (porque \partial f/\partial y=\tfrac{1}{4}). Força aí — tá feito!

Resposta

\dfrac{\partial f}{\partial x}\!\left(\tfrac{1}{2},0\right)=1
\dfrac{\partial f}{\partial y}\!\left(\tfrac{1}{2},0\right)=\tfrac{1}{4}

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