Sendo
a equação do plano tangente ao gráfico de
no ponto
, calcule os valores de
e
\left(\right.) Resp:
\left(\right.) Resp:
Passo 1
O enunciado nos dá:
- A equação do plano tangente ao gráfico de
no ponto é . - O ponto de tangência é
.
O que se pede:
- Calcular
. - Calcular
.
Passo 2
Conceito importante (explicado como se fosse uma dica de prova):
- O gráfico de
é a superfície . - A equação do plano tangente a
no ponto é, por definição da linearização,
Aqui
é a inclinação da superfície quando se move na direção
(mantendo
fixo), e
é a inclinação quando se move na direção
(mantendo
fixo). Na prática, para achar essas derivadas basta pôr a equação do plano tangente na forma linear acima e identificar os coeficientes de
e
.
Passo 3
Colocar a equação dada na forma explícita
(útil para comparar). A equação do plano é
Isolando
,
Passo 4
Determinar o valor
usando a equação do plano (o ponto
pertence ao plano tangente, logo suas coordenadas satisfazem a equação):
Substituindo e
em
,
Substituindo
Passo 5
Escrever a forma padrão do plano tangente em torno de
:
Agora usar a expressão encontrada em Passo 3 para
:
Comparando termo a termo com a forma padrão, o coeficiente de
é
e o coeficiente de
(ou de
) é
. Portanto
Passo 6
Interpretação rápida para fixar a ideia: significa que, perto do ponto
, se
ficar fixo e
aumentar de
, então
aumenta aproximadamente
(porque
); se
ficar fixo e
aumentar de
, então
aumenta aproximadamente
(porque
). Força aí — tá feito!