Determine a derivada direcional da função f no ponto dado e na direção e sentido do vetor \vec{v}.
d) f(x, y)=\ln \left(3 x y^{2}+5 y\right), \quad P=(1,1), \quad \vec{v}=\nabla f(P) .

Passo 1

O enunciado pede para determinar a derivada direcional de f no ponto dado e na direção e sentido do vetor \vec{v}.
Dados do problema:
  • f(x,y)=\ln\!\bigl(3xy^{2}+5y\bigr).
  • Ponto P=(1,1).
  • Vetor de direção \vec{v}=\nabla f(P) (ou seja, o vetor dado é exatamente o gradiente de f avaliado em P).
As perguntas explícitas são:
  • Calcular a derivada direcional de f em P na direção e sentido de \vec{v}.

Passo 2

Entendendo o que é a derivada direcional e como calculá-la (aula rápida, devagar e sem pânico):
  • A derivada direcional de f em P na direção de um vetor não nulo \vec{w} costuma ser definida usando o versor (vetor unitário) \vec{u}=\dfrac{\vec{w}}{\|\vec{w}\|}. Ou seja, sempre normalizamos a direção antes de medir a taxa de variação.
  • Fórmula prática e muito usada:
\text{derivada direcional de }f\text{ em }P\text{ na direção }\vec{u} \;=\; \nabla f(P)\cdot \vec{u},çã
onde \nabla f(P) é o vetor gradiente de f em P e \cdot é o produto escalar.
  • Observação útil (atalho que salva tempo): se a direção escolhida é exatamente a direção do gradiente, isto é, \vec{u} tem o mesmo sentido de \nabla f(P), então
\nabla f(P)\cdot \vec{u} = \|\nabla f(P)\|.
Isto acontece porque \vec{u}=\dfrac{\nabla f(P)}{\|\nabla f(P)\|}, então o produto escalar vira \|\nabla f(P)\|^{2}/\|\nabla f(P)\|=\|\nabla f(P)\|.
No nosso caso a direção dada é \vec{v}=\nabla f(P). Isso significa que, ao normalizar \vec{v} e aplicar a fórmula, a derivada direcional em P na direção e sentido de \vec{v} será simplesmente \|\nabla f(P)\|. Então o plano de ataque: calcular \nabla f(P) e depois sua norma.

Passo 3

Calcular as derivadas parciais de f (você vai precisar disso para \nabla f). Usaremos a regra da cadeia porque f=\ln(g(x,y)) com g(x,y)=3xy^{2}+5y.
  • Se f(x,y)=\ln(g(x,y)), então a regra da cadeia dá:
\frac{\partial f}{\partial x}=\frac{1}{g(x,y)}\frac{\partial g}{\partial x}, \qquad \frac{\partial f}{\partial y}=\frac{1}{g(x,y)}\frac{\partial g}{\partial y}.
  • Agora calcule \frac{\partial g}{\partial x} e \frac{\partial g}{\partial y} para g(x,y)=3xy^{2}+5y:
\frac{\partial g}{\partial x}=3y^{2}, \qquad \frac{\partial g}{\partial y}=6xy+5.

Passo 4

Avaliar as parciais em P=(1,1).
  • Primeiro g(1,1)=3\cdot1\cdot1^{2}+5\cdot1=3+5=8. (Peguei esse valor substituindo x=1,y=1 em g.)
  • Então
\frac{\partial f}{\partial x}(1,1)=\frac{3\cdot 1^{2}}{8}=\frac{3}{8}, \qquad \frac{\partial f}{\partial y}(1,1)=\frac{6\cdot1\cdot1+5}{8}=\frac{11}{8}.
  • Logo o gradiente em P é
\nabla f(1,1)=\left(\frac{3}{8},\frac{11}{8}\right).

Passo 5

Calcular a derivada direcional em P na direção e sentido de \vec{v}=\nabla f(P).
  • Como explicado no Passo 2, a derivada direcional na direção do próprio gradiente (usando o versor dessa direção) é a norma do gradiente:
D_{\text{direção de }\vec{v}}f(1,1)=\bigl\|\nabla f(1,1)\bigr\|.çã
  • Calcule a norma de \nabla f(1,1)=\left(\dfrac{3}{8},\dfrac{11}{8}\right):
\bigl\|\nabla f(1,1)\bigr\| = \sqrt{\left(\frac{3}{8}\right)^{2}+\left(\frac{11}{8}\right)^{2}} = \sqrt{\frac{9}{64}+\frac{121}{64}} = \sqrt{\frac{130}{64}} = \frac{\sqrt{130}}{8}.

Resposta

\dfrac{\sqrt{130}}{8}

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