Determine a derivada direcional da função
no ponto dado e na direção e sentido do vetor
.
d)
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Passo 1
O enunciado pede para determinar a derivada direcional de
no ponto dado e na direção e sentido do vetor
.
Dados do problema:
Dados do problema:
-
. - Ponto
. - Vetor de direção
(ou seja, o vetor dado é exatamente o gradiente de avaliado em ).
As perguntas explícitas são:
- Calcular a derivada direcional de
em na direção e sentido de .
Passo 2
Entendendo o que é a derivada direcional e como calculá-la (aula rápida, devagar e sem pânico):
- A derivada direcional de
em na direção de um vetor não nulo costuma ser definida usando o versor (vetor unitário) . Ou seja, sempre normalizamos a direção antes de medir a taxa de variação. - Fórmula prática e muito usada:
onde
é o vetor gradiente de
em
e
é o produto escalar.
- Observação útil (atalho que salva tempo): se a direção escolhida é exatamente a direção do gradiente, isto é,
tem o mesmo sentido de , então
Isto acontece porque
, então o produto escalar vira
.
No nosso caso a direção dada é
. Isso significa que, ao normalizar
e aplicar a fórmula, a derivada direcional em
na direção e sentido de
será simplesmente
. Então o plano de ataque: calcular
e depois sua norma.
Passo 3
Calcular as derivadas parciais de
(você vai precisar disso para
). Usaremos a regra da cadeia porque
com
.
- Se
, então a regra da cadeia dá:
- Agora calcule
e para :
Passo 4
Avaliar as parciais em
.
- Primeiro
. (Peguei esse valor substituindo em .) - Então
- Logo o gradiente em
é
Passo 5
Calcular a derivada direcional em
na direção e sentido de
.
- Como explicado no Passo 2, a derivada direcional na direção do próprio gradiente (usando o versor dessa direção) é a norma do gradiente:
- Calcule a norma de
: