determinar o ponto de interseção da reta r com o plano
:
r: x=3 t, y=1-2 t, z=-t e \pi: 2 x+3 y-2 z-7=0
r: x=3 t, y=1-2 t, z=-t e \pi: 2 x+3 y-2 z-7=0
Passo 1
O enunciado dá a reta
em forma paramétrica e o plano
em forma cartesiana. Vou listar claramente o que está dado e o que se pede.
- Reta
:
onde
é o parâmetro da reta (cada valor de
gera um ponto
sobre
).
- Plano
:
O que se pede: determinar o ponto de interseção da reta
com o plano
. Ou seja, encontrar o(s) ponto(s) que pertencem simultaneamente a
e a
.
Passo 2
Estratégia prática (passo a passo que você deve aplicar na prova): um ponto da reta tem coordenadas dadas por
. Para que esse ponto esteja no plano, suas coordenadas devem satisfazer a equação do plano. Então substituímos as expressões paramétricas de
na equação do plano e resolvemos para o parâmetro
. Isso transforma o problema em resolver uma equação algébrica simples para
.
Passo 3
Substituição das coordenadas paramétricas na equação do plano. Primeiro calcule cada termo:
Agora somamos esses termos e colocamos o termo constante
conforme a equação do plano:
Passo 4
Simplificar a equação e resolver para
. Faça as somas termo a termo:
Isso reduz a:
Agora resolvemos a equação linear:
Passo 5
Com o valor de
encontrado, calculamos as coordenadas do ponto de interseção substituindo
nas equações paramétricas da reta:
Portanto o ponto candidato é
.
Passo 6
Verificação rápida (boa prática em prova): substituir o ponto obtido na equação do plano para checar que está realmente sobre
:
A igualdade confirma que o ponto pertence ao plano, logo é a interseção buscada.
Passo 7
Dica final para a prova: se, ao substituir as coordenadas da reta na equação do plano, você obtiver uma identidade (por exemplo
para todo
), isso significa que a reta está contida no plano (infinitos pontos de interseção). Se obtiver uma contradição sem solução (por exemplo
), significa que a reta é paralela ao plano e não há interseção. No nosso caso obtemos um valor único de
, logo existe exatamente um ponto de interseção.