determinar o ponto de interseção da reta r com o plano \pi :
r: x=3 t, y=1-2 t, z=-t e \pi: 2 x+3 y-2 z-7=0

Passo 1

O enunciado dá a reta r em forma paramétrica e o plano \pi em forma cartesiana. Vou listar claramente o que está dado e o que se pede.
  • Reta r:
x = 3t,\qquad y = 1-2t,\qquad z = -t
onde t é o parâmetro da reta (cada valor de t gera um ponto (x,y,z) sobre r).
  • Plano \pi:
2x + 3y - 2z - 7 = 0.
O que se pede: determinar o ponto de interseção da reta r com o plano \pi. Ou seja, encontrar o(s) ponto(s) que pertencem simultaneamente a r e a \pi.

Passo 2

Estratégia prática (passo a passo que você deve aplicar na prova): um ponto da reta tem coordenadas dadas por x=3t,\;y=1-2t,\;z=-t. Para que esse ponto esteja no plano, suas coordenadas devem satisfazer a equação do plano. Então substituímos as expressões paramétricas de x,y,z na equação do plano e resolvemos para o parâmetro t. Isso transforma o problema em resolver uma equação algébrica simples para t.

Passo 3

Substituição das coordenadas paramétricas na equação do plano. Primeiro calcule cada termo:
2x = 2\cdot(3t) = 6t,
3y = 3\cdot(1-2t) = 3 - 6t,
-2z = -2\cdot(-t) = 2t.
Agora somamos esses termos e colocamos o termo constante -7 conforme a equação do plano:
6t + (3 - 6t) + 2t - 7 = 0.

Passo 4

Simplificar a equação e resolver para t. Faça as somas termo a termo:
6t - 6t + 2t + 3 - 7 = 0.
Isso reduz a:
2t - 4 = 0.
Agora resolvemos a equação linear:
2t = 4 \quad\Rightarrow\quad t = 2.

Passo 5

Com o valor de t encontrado, calculamos as coordenadas do ponto de interseção substituindo t=2 nas equações paramétricas da reta:
x = 3t = 3\cdot 2 = 6,
y = 1 - 2t = 1 - 2\cdot 2 = 1 - 4 = -3,
z = -t = -2.
Portanto o ponto candidato é (6,-3,-2).

Passo 6

Verificação rápida (boa prática em prova): substituir o ponto obtido na equação do plano para checar que está realmente sobre \pi:
2\cdot 6 + 3\cdot(-3) - 2\cdot(-2) - 7 = 12 - 9 + 4 - 7 = 0.
A igualdade confirma que o ponto pertence ao plano, logo é a interseção buscada.

Passo 7

Dica final para a prova: se, ao substituir as coordenadas da reta na equação do plano, você obtiver uma identidade (por exemplo 0=0 para todo t), isso significa que a reta está contida no plano (infinitos pontos de interseção). Se obtiver uma contradição sem solução (por exemplo 0=5), significa que a reta é paralela ao plano e não há interseção. No nosso caso obtemos um valor único de t, logo existe exatamente um ponto de interseção.

Resposta

(6,-3,-2)

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