Verificar se as retas são concorrentes e, em caso afirmativo, encontrar o ponto de interseção:
\mathrm{r}_{1}:\left\{\begin{array}{l}\mathrm{x}=2-\mathrm{t} \\\ \mathrm{y}=3-5 \mathrm{t} \\\ \mathrm{z}=6-6 \mathrm{t}\end{array} \quad\right. e \quad \mathrm{r}_{2}:\left\{\begin{array}{l}\mathrm{x}=-3+6 \mathrm{~h} \\\ \mathrm{y}=1+7 \mathrm{~h} \\\ \mathrm{z}=-1+13 \mathrm{~h}\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado dá duas retas no espaço, com parâmetros distintos, e pede para verificar se elas são concorrentes e, em caso afirmativo, encontrar o ponto de interseção.
Dados fornecidos:
  • Reta \mathrm{r}_{1}\) dada por \[\mathrm{r}_{1}:\begin{cases} \mathrm{x}=2-\mathrm{t}\\[4pt] \mathrm{y}=3-5\mathrm{t}\\[4pt] \mathrm{z}=6-6\mathrm{t} \end{cases}
(com parâmetro (\mathrm{t}]).
  • Reta \mathrm{r}_{2}\) dada por \[\mathrm{r}_{2}:\begin{cases} \mathrm{x}=-3+6\mathrm{h}\\[4pt] \mathrm{y}=1+7\mathrm{h}\\[4pt] \mathrm{z}=-1+13\mathrm{h} \end{cases}
(com parâmetro (\mathrm{h}]).
O que se pede:
  • Verificar se existe um ponto comum às duas retas (isto é, se existem \mathrm{t} e \mathrm{h} tais que as três coordenadas coincidam).
  • Se existir, determinar as coordenadas desse ponto de interseção.]

Passo 2

Como queremos que as coordenadas sejam iguais simultaneamente, escrevemos o sistema obtido igualando as componentes de \mathrm{r}_1\) e \(\mathrm{r}_2\): \[\begin{cases} 2-\mathrm{t}=-3+6\mathrm{h}\\[6pt] 3-5\mathrm{t}=1+7\mathrm{h}\\[6pt] 6-6\mathrm{t}=-1+13\mathrm{h} \end{cases}
Esse é um sistema de três equações em duas incógnitas \mathrm{t}\] e \(\mathrm{h}. Se for compatível e as soluções satisfizerem as três equações, as retas se intersectam.]

Passo 3

Trabalhando a primeira equação para isolar \mathrm{t}:
2-\mathrm{t}=-3+6\mathrm{h}
Subtraindo 2 e somando \mathrm{t} aos dois lados, obtemos
-\mathrm{t}-6\mathrm{h}=-5.
Multiplicando por -1,
\mathrm{t}+6\mathrm{h}=5.
Dessa forma podemos escrever
\mathrm{t}=5-6\mathrm{h}.

Passo 4

Agora usamos a segunda equação:
3-5\mathrm{t}=1+7\mathrm{h}.
Passando termos, obtemos
-5\mathrm{t}-7\mathrm{h}=-2,
ou multiplicando por -1,
5\mathrm{t}+7\mathrm{h}=2.
Substituímos \mathrm{t}=5-6\mathrm{h} nessa equação:
5(5-6\mathrm{h})+7\mathrm{h}=2.
Fazendo as multiplicações e somas:
25-30\mathrm{h}+7\mathrm{h}=2,
25-23\mathrm{h}=2.
Subtraindo 25 de ambos os lados:
-23\mathrm{h}=-23,
portanto
\mathrm{h}=1.

Passo 5

Com \mathrm{h}=1, voltamos à expressão \mathrm{t}=5-6\mathrm{h}:
\mathrm{t}=5-6\cdot1=5-6=-1.

Passo 6

É obrigatório verificar a terceira equação para garantir consistência:
terceira equação era
6-6\mathrm{t}=-1+13\mathrm{h}.
Substituindo \mathrm{t}=-1 e \mathrm{h}=1:
6-6(-1)=6+6=12,
-1+13(1)=-1+13=12.
Como os dois lados coincidem ( 12=12), o par (\mathrm{t},\mathrm{h})=(-1,1) satisfaz as três equações. Logo o sistema é compatível e as retas se intersectam.

Passo 7

Encontrar o ponto de interseção substituindo \mathrm{t}=-1 em \mathrm{r}_1 (ou \mathrm{h}=1 em \mathrm{r}_2; ambos dão o mesmo resultado).
Usando \mathrm{r}_1 com \mathrm{t}=-1:
\begin{aligned} \mathrm{x}&=2-(-1)=3,\\[4pt] \mathrm{y}&=3-5(-1)=3+5=8,\\[4pt] \mathrm{z}&=6-6(-1)=6+6=12. \end{aligned}
Portanto o ponto de interseção é (3,8,12).
Dica rápida para a prova: escreva logo o sistema das três igualdades, isole uma variável em função da outra usando as primeiras duas equações e sempre verifique a terceira para confirmar a interseção.]

Resposta

(3,8,12)

Exercícios relacionados