Verificar se as retas são concorrentes e, em caso afirmativo, encontrar o ponto de interseção: \mathrm{r}_{1}:\left\{\begin{array}{l}\mathrm{x}=2-\mathrm{t} \\\ \mathrm{y}=3-5 \mathrm{t} \\\ \mathrm{z}=6-6 \mathrm{t}\end{array} \quad\right. e \quad \mathrm{r}_{2}:\left\{\begin{array}{l}\mathrm{x}=-3+6 \mathrm{~h} \\\ \mathrm{y}=1+7 \mathrm{~h} \\\ \mathrm{z}=-1+13 \mathrm{~h}\end{array}\right.
Passo 1
O enunciado dá duas retas no espaço, com parâmetros distintos, e pede para verificar se elas são concorrentes e, em caso afirmativo, encontrar o ponto de interseção.
Dados fornecidos:
Reta \mathrm{r}_{1}\) dada por
\[\mathrm{r}_{1}:\begin{cases} \mathrm{x}=2-\mathrm{t}\\[4pt] \mathrm{y}=3-5\mathrm{t}\\[4pt] \mathrm{z}=6-6\mathrm{t} \end{cases}
(com parâmetro (\mathrm{t}]).
Reta \mathrm{r}_{2}\) dada por
\[\mathrm{r}_{2}:\begin{cases} \mathrm{x}=-3+6\mathrm{h}\\[4pt] \mathrm{y}=1+7\mathrm{h}\\[4pt] \mathrm{z}=-1+13\mathrm{h} \end{cases}
(com parâmetro (\mathrm{h}]).
O que se pede:
Verificar se existe um ponto comum às duas retas (isto é, se existem \mathrm{t} e \mathrm{h} tais que as três coordenadas coincidam).
Se existir, determinar as coordenadas desse ponto de interseção.]
Passo 2
Como queremos que as coordenadas sejam iguais simultaneamente, escrevemos o sistema obtido igualando as componentes de \mathrm{r}_1\) e \(\mathrm{r}_2\):
\[\begin{cases} 2-\mathrm{t}=-3+6\mathrm{h}\\[6pt] 3-5\mathrm{t}=1+7\mathrm{h}\\[6pt] 6-6\mathrm{t}=-1+13\mathrm{h} \end{cases}
Esse é um sistema de três equações em duas incógnitas \mathrm{t}\] e \(\mathrm{h}. Se for compatível e as soluções satisfizerem as três equações, as retas se intersectam.]
Passo 3
Trabalhando a primeira equação para isolar \mathrm{t}:
2-\mathrm{t}=-3+6\mathrm{h}
Subtraindo 2 e somando \mathrm{t} aos dois lados, obtemos
Com \mathrm{h}=1, voltamos à expressão \mathrm{t}=5-6\mathrm{h}:
\mathrm{t}=5-6\cdot1=5-6=-1.
Passo 6
É obrigatório verificar a terceira equação para garantir consistência:
terceira equação era
6-6\mathrm{t}=-1+13\mathrm{h}.
Substituindo \mathrm{t}=-1 e \mathrm{h}=1:
6-6(-1)=6+6=12,
-1+13(1)=-1+13=12.
Como os dois lados coincidem (12=12), o par (\mathrm{t},\mathrm{h})=(-1,1) satisfaz as três equações. Logo o sistema é compatível e as retas se intersectam.
Passo 7
Encontrar o ponto de interseção substituindo \mathrm{t}=-1 em \mathrm{r}_1 (ou \mathrm{h}=1 em \mathrm{r}_2; ambos dão o mesmo resultado).
Dica rápida para a prova: escreva logo o sistema das três igualdades, isole uma variável em função da outra usando as primeiras duas equações e sempre verifique a terceira para confirmar a interseção.]