Seja A uma matriz de tamanho 3 \times 3 tal que a soma de todos os elementos de cada coluna é 0 , demonstre que \operatorname{det}(A)=0.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede o seguinte:
  • Temos uma matriz A de tamanho 3\times3.
  • A soma dos elementos de cada coluna é zero, isto é, para j=1,2,3 vale \displaystyle \sum_{i=1}^{3} a_{ij}=0.
  • O que se pede: demonstrar que \det(A)=0.

Passo 2

Vamos introduzir notação e um vetor simples que vai nos ajudar.
  • Escrevemos os elementos de A como a_{ij}, onde i é o índice da linha e j o índice da coluna. Assim a coluna j é o vetor \begin{pmatrix}a_{1j}\\[2pt]a_{2j}\\[2pt]a_{3j}\end{pmatrix}.
  • Definimos o vetor coluna não nulo \displaystyle e=\begin{pmatrix}1\\[2pt]1\\[2pt]1\end{pmatrix}. Note que e\neq 0 porque suas entradas não são todas zero.]

Passo 3

Calculemos o produto A^{T}e. Lembre que A^{T} é a transposta de A e que a entrada j-ésima do produto A^{T}e é a soma dos elementos da coluna j de A. Formalmente,
\bigl(A^{T}e\bigr)_{j}=\sum_{i=1}^{3} a_{ij}.
Pelo enunciado sabemos que \displaystyle \sum_{i=1}^{3} a_{ij}=0 para todo j. Portanto cada componente de A^{T}e é zero, ou seja
A^{T}e = \begin{pmatrix}0\\[2pt]0\\[2pt]0\end{pmatrix}.
Tirando as consequências: encontramos um vetor não nulo e tal que A^{T}e=0. Isso significa que a transposta A^{T} tem um núcleo (kernel) não trivial — existe um vetor não nulo que é enviado para zero. Por definição, uma matriz que tem núcleo não trivial não é invertível; diz-se que é singular.]

Passo 4

Agora usamos duas propriedades básicas de matrizes e determinantes (que valem para qualquer dimensão finita):
  • Uma matriz é singular (não invertível) se, e somente se, seu determinante é zero. Ou seja, se uma matriz tem um vetor não nulo no kernel então seu determinante é 0.
  • O determinante da transposta é igual ao determinante da matriz: \det(A^{T})=\det(A).
Como A^{T} é singular (tem A^{T}e=0 com e\neq0), segue que \det(A^{T})=0. Aplicando a igualdade de determinantes da transposta, obtemos \det(A)=\det(A^{T})=0.

Passo 5

Resumo em uma frase final e amigável: a existência do vetor \displaystyle e=(1,1,1)^{T} com A^{T}e=0 prova que A^{T} é singular, logo \det(A^{T})=0, e portanto \det(A)=0.

Resposta

\det(A)=0

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