Ache, caso seja possivel, os pontos de máximo e/ou de minimo de
sujeita à hipérbole
.
Passo 1
O enunciado pede: achar, se possível, os pontos de máximo e/ou de mínimo da função
sujeita à restrição dada pela hipérbole
Informações dadas:
- A função objetivo é
. - A restrição é a curva
. - A tarefa é encontrar pontos na curva que maximizem ou minimizem
, ou então concluir que tais extremos não existem.
Passo 2
Escolha do método e ideia essencial (explicação didática).
- Para problemas de extremos de uma função com uma restrição explícita do tipo
, um método padrão é o dos multiplicadores de Lagrange. A intuição: num extremo restrito, o gradiente de deve ser paralelo ao gradiente da restrição (porque qualquer movimento tangente à curva não muda primeiro-ordem o valor de ). Isso se traduz na condição
para algum número real
(o multiplicador de Lagrange).
- Outra alternativa prática, quando a restrição é uma curva simples, é parametrizar a curva e reduzir o problema a uma função de uma variável. Vou mostrar os dois caminhos: primeiro escrevo as equações de Lagrange e vejo o que acontece; depois faço a parametrização da hipérbole e analiso o comportamento de
sobre ela para concluir sobre existência (ou não) de extremos.
Passo 3
Aplicando multiplicadores de Lagrange (passo a passo).
- Defino a função da restrição
, de modo que a curva é . - Calculo os gradientes:
- A condição
gera o sistema
Escrevendo de forma simplificada:
Passo 4
Resolver o sistema obtido em Lagrange e interpretar.
- Substituo
na segunda equação :
- Isolando
:
- Assim temos
. Como para todo , segue que necessariamente . - Mas se
a restrição fica
o que não tem solução real. Conclusão: o sistema de Lagrange não admite solução real válida na curva. Em outras palavras, não existem pontos onde
seja paralelo a
sobre a hipérbole; portanto não há pontos críticos internos do tipo “Lagrange” — isto já sugere que não há extremos restritos finitos, mas precisamos concluir de forma mais direta se a função é limitada ou não na curva.
Passo 5
Parametrização da hipérbole e análise direta (método alternativo, didático e conclusivo).
- A hipérbole pode ser escrita dividindo por
:
que é a hipérbole padrão. Uma parametrização real conveniente usa funções hiperbólicas:
Verificação rápida (propriedade fundamental das funções hiperbólicas):
logo a parametrização satisfaz a restrição para todo
.
- Substituo na função objetivo:
Usando a identidade hiperbólica
, obtemos
Passo 6
Concluir sobre existência de extremos a partir da função univariada.
- Analiso
. Propriedades importantes: - A função
é estritamente crescente em e , . - Derivada:
para todo , portanto é estritamente crescente (não há pontos críticos onde ).
- A função
- Assim, ao percorrer a hipérbole com
obtém-se ; com obtém-se . Logo não é limitada superior nem inferior sobre a curva e não possui máximos nem mínimos (nem locais nem globais) sobre a restrição.
Resposta
Não existem pontos de máximo nem de mínimo;
é não limitada sobre a hipérbole (
e
).