Ache, caso seja possivel, os pontos de máximo e/ou de minimo de f(x, y)=4 x y sujeita à hipérbole 4 x^{2}-y^{2}=4.

Passo 1

O enunciado pede: achar, se possível, os pontos de máximo e/ou de mínimo da função f(x,y)=4xy sujeita à restrição dada pela hipérbole
4x^{2}-y^{2}=4.
Informações dadas:
  • A função objetivo é f(x,y)=4xy.
  • A restrição é a curva 4x^{2}-y^{2}=4.
  • A tarefa é encontrar pontos na curva que maximizem ou minimizem f, ou então concluir que tais extremos não existem.

Passo 2

Escolha do método e ideia essencial (explicação didática).
  • Para problemas de extremos de uma função com uma restrição explícita do tipo g(x,y)=0, um método padrão é o dos multiplicadores de Lagrange. A intuição: num extremo restrito, o gradiente de f deve ser paralelo ao gradiente da restrição g (porque qualquer movimento tangente à curva não muda primeiro-ordem o valor de f). Isso se traduz na condição
\nabla f(x,y)=\lambda\,\nabla g(x,y)
para algum número real \lambda (o multiplicador de Lagrange).
  • Outra alternativa prática, quando a restrição é uma curva simples, é parametrizar a curva e reduzir o problema a uma função de uma variável. Vou mostrar os dois caminhos: primeiro escrevo as equações de Lagrange e vejo o que acontece; depois faço a parametrização da hipérbole e analiso o comportamento de f sobre ela para concluir sobre existência (ou não) de extremos.

Passo 3

Aplicando multiplicadores de Lagrange (passo a passo).
  • Defino a função da restrição g(x,y)=4x^{2}-y^{2}-4, de modo que a curva é g(x,y)=0.
  • Calculo os gradientes:
\nabla f(x,y)=\left(\dfrac{\partial f}{\partial x},\dfrac{\partial f}{\partial y}\right)=(4y,\,4x),
\nabla g(x,y)=\left(\dfrac{\partial g}{\partial x},\dfrac{\partial g}{\partial y}\right)=(8x,\,-2y).
  • A condição \nabla f=\lambda\nabla g gera o sistema
4y = \lambda\cdot 8x,\qquad 4x = \lambda\cdot(-2y),\qquad 4x^{2}-y^{2}=4.
Escrevendo de forma simplificada:
4y=8\lambda x \quad\Rightarrow\quad y=2\lambda x,
4x=-2\lambda y \quad\Rightarrow\quad 2x=-\lambda y.

Passo 4

Resolver o sistema obtido em Lagrange e interpretar.
  • Substituo y=2\lambda x na segunda equação 2x=-\lambda y:
2x=-\lambda(2\lambda x) \quad\Rightarrow\quad 2x=-2\lambda^{2}x.
  • Isolando x:
2x + 2\lambda^{2}x = 0 \quad\Rightarrow\quad 2x(1+\lambda^{2})=0.
  • Assim temos x(1+\lambda^{2})=0. Como 1+\lambda^{2}>0 para todo \lambda\in\mathbb{R}, segue que necessariamente x=0.
  • Mas se x=0 a restrição fica
4\cdot 0^{2}-y^{2}=4 \quad\Rightarrow\quad -y^{2}=4,
o que não tem solução real. Conclusão: o sistema de Lagrange não admite solução real válida na curva. Em outras palavras, não existem pontos onde \nabla f seja paralelo a \nabla g sobre a hipérbole; portanto não há pontos críticos internos do tipo “Lagrange” — isto já sugere que não há extremos restritos finitos, mas precisamos concluir de forma mais direta se a função é limitada ou não na curva.

Passo 5

Parametrização da hipérbole e análise direta (método alternativo, didático e conclusivo).
  • A hipérbole pode ser escrita dividindo por 4:
x^{2}-\frac{y^{2}}{4}=1,
que é a hipérbole padrão. Uma parametrização real conveniente usa funções hiperbólicas:
x=\operatorname{cosh} t,\qquad y=2\operatorname{sinh} t,\qquad t\in\mathbb{R}.
Verificação rápida (propriedade fundamental das funções hiperbólicas):
4x^{2}-y^{2}=4\operatorname{cosh}^{2}t-(2\operatorname{sinh} t)^{2}=4\bigl(\operatorname{cosh}^{2}t-\operatorname{sinh}^{2}t\bigr)=4\cdot 1=4,
logo a parametrização satisfaz a restrição para todo t\in\mathbb{R}.
  • Substituo na função objetivo:
f(x,y)=4xy \quad\Rightarrow\quad f(t)=4\cdot(\operatorname{cosh} t)\cdot(2\operatorname{sinh} t)=8\operatorname{sinh} t\operatorname{cosh} t.
Usando a identidade hiperbólica \operatorname{sinh}(2t)=2\operatorname{sinh} t\operatorname{cosh} t, obtemos
f(t)=8\operatorname{sinh} t\operatorname{cosh} t=4\operatorname{sinh}(2t).

Passo 6

Concluir sobre existência de extremos a partir da função univariada.
  • Analiso f(t)=4\operatorname{sinh}(2t). Propriedades importantes:
    • A função \operatorname{sinh}(2t) é estritamente crescente em t e \lim_{t\to+\infty}\operatorname{sinh}(2t)=+\infty, \lim_{t\to-\infty}\operatorname{sinh}(2t)=-\infty.
    • Derivada: f'(t)=8\operatorname{cosh}(2t)>0 para todo t, portanto f é estritamente crescente (não há pontos críticos onde f'(t)=0).
  • Assim, ao percorrer a hipérbole com t\to+\infty obtém-se f\to +\infty; com t\to-\infty obtém-se f\to -\infty. Logo f não é limitada superior nem inferior sobre a curva e não possui máximos nem mínimos (nem locais nem globais) sobre a restrição.

Resposta

Não existem pontos de máximo nem de mínimo; f é não limitada sobre a hipérbole ( \sup f=+\infty e \inf f=-\infty ).

Exercícios relacionados