Determinar os pontos de inflexão e fazer o estudo da concavidade das seguintes funções:
(f)
Resp: Sem P.I.
(f)
Passo 1
Resumo do problema: temos a função f(x)=x+e^{x} e queremos estudar a concavidade e encontrar possíveis pontos de inflexão. Para isso, vamos usar a segunda derivada f’’(x) e analisar seu sinal ao longo do domínio.
Passo 2
Calcular a primeira derivada f’(x). Sabemos que a derivada de x é 1 e a de e^{x} é e^{x}, logo
Passo 3
Calcular a segunda derivada f’’(x). Diferenciando f’(x), a derivada de 1 é 0 e a de e^{x} é e^{x}, então
Passo 4
Estudar o sinal de f’’(x). Como
para todo
, segue que
Isso significa que a função é côncava para cima em todo o domínio.
Passo 5
Determinar pontos de inflexão. Um ponto de inflexão ocorre quando f’’(x)=0 ou f’’(x) não existe e há troca de concavidade. Aqui nunca temos f’’(x)=0 nem troca de sinal, pois f’’(x)>0 sempre. Portanto não há pontos de inflexão.
Resposta
Não existem pontos de inflexão. A função é côncava para cima em todo o domínio (−∞,∞).