Determinar os pontos de inflexão e fazer o estudo da concavidade das seguintes funções:
(f) f(x)=x+e^x Resp: Sem P.I.

Passo 1

Resumo do problema: temos a função f(x)=x+e^{x} e queremos estudar a concavidade e encontrar possíveis pontos de inflexão. Para isso, vamos usar a segunda derivada f’’(x) e analisar seu sinal ao longo do domínio.

Passo 2

Calcular a primeira derivada f’(x). Sabemos que a derivada de x é 1 e a de e^{x} é e^{x}, logo
f'(x)=1+e^x

Passo 3

Calcular a segunda derivada f’’(x). Diferenciando f’(x), a derivada de 1 é 0 e a de e^{x} é e^{x}, então
f''(x)=e^x

Passo 4

Estudar o sinal de f’’(x). Como e^x>0 para todo xinR, segue que
f''(x)>0para todo x
Isso significa que a função é côncava para cima em todo o domínio.

Passo 5

Determinar pontos de inflexão. Um ponto de inflexão ocorre quando f’’(x)=0 ou f’’(x) não existe e há troca de concavidade. Aqui nunca temos f’’(x)=0 nem troca de sinal, pois f’’(x)>0 sempre. Portanto não há pontos de inflexão.

Resposta

Não existem pontos de inflexão. A função é côncava para cima em todo o domínio (−∞,∞).

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