Seja h(x)=1 /(1+x).
Sem calcular a fórmula de quadratura, encontrar teoricamente estimativa para o erro da fórmula composta QS, 3(h), para cálculo aproximado de I(h);

Passo 1

O enunciado pede para estimar o erro da regra composta de Simpson aplicada a h(x)=1/(1+x) no intervalo onde se define I(h)=integrala^b h(x),dx, sem de fato calcular a fórmula. Vamos usar o teorema do erro para Simpson composto.

Passo 2

Para a regra composta de Simpson com passo h=(b-a)/n (em que n deve ser par), o erro satisfaz a estimativa
l|I(f)-QS,n(f)r|<= (b-a),h^4180maxxiin[a,b]l|f^(4)(xi)r|

Passo 3

No nosso caso tomamos o intervalo padrão [0,1] (pois geralmente I(h)=integral0^1!1/(1+x),dx=ln2), e escolhemos n=3 subintervalos (mesmo que n deva ser par, aqui queremos ver o passo h=1/3). Então
h=1-03=13

Passo 4

Agora precisamos de h^(4)(x). Derivando quatro vezes h(x)=1/(1+x) obtemos
h'(x)=-1(1+x)^2, h''(x)=2(1+x)^3, h^(3)(x)=-6(1+x)^4, h^(4)(x)=24(1+x)^5

Passo 5

O máximo de l|h^(4)(x)r| em [0,1] ocorre em x=0, dando
max[0,1]l|h^(4)(x)r|=l|h^(4)(0)r|=24

Passo 6

Substituindo tudo na fórmula do erro:
l|I(h)-QS,3(h)r|<= (1-0),(1/3)^4180cdot24 =24180cdot13^4=215cdot181=21215

Resposta

l|I(h)-QS,3(h)r|<= 21215approx1,65times10^-3

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