Determinar os pontos de inflexão e reconhecer os intervalos onde as funções tem concavidade voltada para cima ou para baixo.
g(x)=x^{2} \cdot \operatorname{sen}(x),[-\pi, \pi]

Passo 1

O enunciado pede os pontos de inflexão e os intervalos de concavidade para a função
g(x)=x^{2}\sin(x)
no domínio [-\,\pi,\pi]. Para isso precisamos calcular a segunda derivada g''(x), resolver g''(x)=0 para encontrar candidatos a inflexão e depois estudar o sinal de g''(x) em cada intervalo.

Passo 2

Derivamos uma vez usando a regra do produto em g(x)=x^{2}\sin(x):
g'(x)=2x\sin(x)+x^{2}\cos(x).

Passo 3

Agora derivamos g'(x) para obter a segunda derivada. Derivando termo a termo:
– de 2x\sin(x) vem 2\sin(x)+2x\cos(x),
– de x^{2}\cos(x) vem 2x\cos(x)-x^{2}\sin(x).
Somando,
g''(x)=2\sin(x)+2x\cos(x)+2x\cos(x)-x^{2}\sin(x) =\sin(x)\bigl(2-x^{2}\bigr)+4x\cos(x).

Passo 4

Para achar os pontos de inflexão, resolvemos
g''(x)=\sin(x)\bigl(2-x^{2}\bigr)+4x\cos(x)=0.
Note que x=0 é solução imediata. As outras duas surgem simetricamente em x=\pm a com a>0. Numericamente encontramos
a\approx1{,}519,
portanto as soluções em [-\,\pi,\pi] são x=-1{,}519, x=0 e x=1{,}519.

Passo 5

Para determinar os sinais de g''(x) entre esses pontos, fazemos um breve esboço:
– em x<-1{,}519, por exemplo em x=-2, calcula-se g''(-2)>0;
– em -1{,}519<x<0, por exemplo em x=-1, obtém-se g''(-1)<0;
– em 0<x<1{,}519, por exemplo em x=1, obtém-se g''(1)>0;
– em x>1{,}519, por exemplo em x=2, obtém-se g''(2)<0.
Logo
– concavidade voltada para cima em (-\,\pi,-1{,}519) e (0,1{,}519),
– concavidade voltada para baixo em (-1{,}519,0) e (1{,}519,\pi).

Passo 6

Calculamos também os valores de g nos pontos de inflexão:
g(0)=0^{2}\sin(0)=0, \quad g(\pm1{,}519)=(1{,}519)^{2}\sin(\pm1{,}519)\approx\pm2{,}306.

Resposta

Pontos de inflexão: \bigl(-1{,}519,\,-2{,}306\bigr), \bigl(0,0\bigr) e \bigl(1{,}519,\,2{,}306\bigr).
Concavidade para cima em
(-\pi,-1{,}519)\quad\text{e}\quad(0,1{,}519),
concavidade para baixo em
(-1{,}519,0)\quad\text{e}\quad(1{,}519,\pi).

Exercícios relacionados