e) \int_{1}^{3}\left(x-\frac{2}{x}\right)^{2} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int_{1}^{3}\Bigl(x - \frac{2}{x}\Bigr)^{2}\,dx.
O conteúdo envolve expansão de binómio, simplificação para termos de potências de x e integração termo a termo de funções polinomiais e potenciais.

Passo 2

Vamos expandir o quadrado do integrando:
\Bigl(x - \frac{2}{x}\Bigr)^{2} = x^{2} - 2\cdot x\cdot\frac{2}{x} + \frac{4}{x^{2}} = x^{2} - 4 + 4\,x^{-2}.

Passo 3

Agora montamos a antiderivada de cada termo:
\int\Bigl(x^{2} - 4 + 4\,x^{-2}\Bigr)\,dx = \int x^{2}\,dx - \int 4\,dx + \int 4\,x^{-2}\,dx.
Calculando cada parte, obtemos
\int x^{2}\,dx = \frac{x^{3}}{3},\quad \int 4\,dx = 4x,\quad \int 4\,x^{-2}\,dx = 4\cdot\bigl(-x^{-1}\bigr) = -\frac{4}{x}.
Portanto, uma primitiva é
F(x) = \frac{x^{3}}{3} - 4x - \frac{4}{x}.

Passo 4

Avaliar F(x) entre os limites 1 e 3:
F(3) = \frac{3^{3}}{3} - 4\cdot3 - \frac{4}{3} = 9 - 12 - \frac{4}{3} = -\frac{13}{3},
F(1) = \frac{1^{3}}{3} - 4\cdot1 - \frac{4}{1} = \frac{1}{3} - 8 = -\frac{23}{3}.
Logo,
\int_{1}^{3}\Bigl(x - \frac{2}{x}\Bigr)^{2}dx = F(3) - F(1) = \Bigl(-\frac{13}{3}\Bigr) - \Bigl(-\frac{23}{3}\Bigr) = \frac{10}{3}.

Resposta

\displaystyle \frac{10}{3}

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