Determinar os pontos da reta \frac{x-3}{2}=\frac{y+1}{-1}=\frac{z}{-2} que tem abscissa 5

Passo 1

O enunciado dá a reta em forma simétrica
\frac{x-3}{2}=\frac{y+1}{-1}=\frac{z}{-2}
e pede: determinar os pontos dessa reta cuja abscissa é 5.\n
Informações relevantes fornecidas:
\frac{x-3}{2}=\frac{y+1}{-1}=\frac{z}{-2}.
A palavra “abscissa” significa o valor da coordenada x. Então estamos buscando os pontos da reta com x=5.

Passo 2

Vamos transformar a forma simétrica em forma paramétrica — isso facilita achar coordenadas quando uma delas é dada. Quando temos
\frac{x-3}{2}=\frac{y+1}{-1}=\frac{z}{-2},
podemos igualar tudo a um parâmetro, chamar de t:
\frac{x-3}{2}= \frac{y+1}{-1}= \frac{z}{-2}=t.
Isto significa que cada fração vale o mesmo número t. Agora isolamos x,y,z em função de t:
x-3=2t \quad\Rightarrow\quad x=3+2t,
y+1=-1\cdot t \quad\Rightarrow\quad y=-1-t,
z=-2\cdot t \quad\Rightarrow\quad z=-2t.
Explicando: t é um número que percorre todos os reais; para cada t obtemos um ponto da reta. A reta passa pelo ponto obtido quando t=0, que é (3,-1,0), e o vetor diretor é (2,-1,-2) — isso vem dos coeficientes multiplicando t.

Passo 3

Agora usamos a condição "abscissa 5", ou seja, impomos x=5 na expressão paramétrica x=3+2t. Resolvemos para t:
3+2t=5.
Subtraindo 3 dos dois lados:
2t=5-3=2.
Dividindo por 2:
t=1.

Passo 4

Com t=1 calculamos as outras coordenadas usando as expressões paramétricas. Para y:
y=-1-t=-1-1=-2.
Para z:
z=-2t=-2\cdot 1=-2.

Passo 5

Fazemos uma verificação rápida: substituindo o ponto (5,-2,-2) nas frações da forma simétrica temos
\frac{5-3}{2}=\frac{2}{2}=1,
\frac{-2+1}{-1}=\frac{-1}{-1}=1,
\frac{-2}{-2}=1.
Todas as frações dão o mesmo valor 1, então o ponto realmente pertence à reta e tem abscissa 5.

Resposta

(5,-2,-2)

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