Nos Exercícios de 31 a 36, é dada uma transformação linear
. Se possível, encontre uma base
para
tal que a matriz
de
, em relação à base
, seja diagonal.
definida por
Passo 1
O que o enunciado pede: encontrar, se possível, uma base
de
tal que a matriz de
em relação a
seja diagonal.
Informações dadas:
definida por
O espaço
é o espaço dos polinômios de grau ≤
(dimensão
). A tarefa é achar uma base formada por vetores (polinômios) que sejam autovetores de
, se existir, para que a matriz fique diagonal.
Passo 2
Primeiro obtenho a matriz de
na base padrão
. Aplico
aos vetores da base e escrevo os resultados nas coordenadas da base
.
Para
(ou seja
):
Na base
isso corresponde ao vetor coluna
.
Para
(ou seja
):
Na base
isso corresponde ao vetor coluna
.
Logo, a matriz de
na base
é
Passo 3
Para diagonalizar
procuro autovalores (valores próprios) e autovetores. Lembrete rápido (passo-a-passo didático): um escalar
é autovalor se existe vetor não-nulo
tal que
ou equivalentemente
Os autovalores aparecem como raízes do polinômio característico
. Se conseguirmos dois autovetores linearmente independentes (a dimensão do espaço é
), então existe base de autovetores e a matriz é diagonalizável.
Passo 4
Calculo o polinômio característico de
. Primeiro
O determinante é
Faço as contas:
então
Esse polinômio fatoriza:
Portanto os autovalores são
e
. Como são distintos, sabemos que
é diagonalizável (teorema: autovalores distintos implicam autovetores linearmente independentes).]
Passo 5
Encontro autovetores para
. Resolvo
:
Solução do sistema
dá
. Tomando
obtemos o autovetor
Em termos de polinômio (coordenadas relativas à base
), esse vetor corresponde ao polinômio
Verificação rápida (didática): aplicando
em
usando a definição dá
confirmando que é autovetor com autovalor
.]
Passo 6
Encontro autovetores para
. Resolvo
:
O sistema
dá
. Tomando
obtemos o autovetor
Em polinômios, isso corresponde a
Verificação rápida:
confirmando autovalor
.]
Passo 7
Os autovetores
e
são linearmente independentes (pois não são múltiplos um do outro), portanto
é uma base de
formada por autovetores de
. Na base
a matriz de
é diagonal com entradas correspondentes aos autovalores na mesma ordem: