Para determinar a posição de uma partícula usando ondas eletromagnéticas, o comprimento de onda da radiação usada deve ser no máximo da mesma ordem que a precisão desejada. Calcule o momento e a energia de um fóton com um comprimento de onda
. Se a posição de um elétron é determinada com uma precisão
, qual é a indeterminação do momento do elétron?
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede (tudo que vai ser usado nos cálculos).
- Dado: comprimento de onda do fóton
. - Dado: precisão de posição do elétron
.
O enunciado pede:
- Calcular o momento do fóton com comprimento de onda
. - Calcular a energia do fóton com comprimento de onda
. - Calcular a indeterminação do momento do elétron
quando a posição é determinada com precisão .
Constantes que usarei (valores numéricos padrão):
- Constante de Planck
. - Constante reduzida de Planck
. - Velocidade da luz
. - Converteção energia:
.
Passo 2
Cálculo do momento do fóton: fórmula e explicação.
- Aula curta: um fóton tem energia e momento relacionados ao seu comprimento de onda. O momento linear de um fóton (magnitude) é dado por
Aqui
é o momento do fóton em
,
é a constante de Planck e
é o comprimento de onda.
- Substituindo os valores:
Faço a conta passo a passo: divido a mantissa e subtraio os expoentes:
Portanto
Arredondando com três algarismos significativos:
Passo 3
Cálculo da energia do fóton: fórmula, explicação e conversão para elétron-volts.
- Aula curta: a energia de um fóton também pode ser escrita em função do comprimento de onda como
Aqui
está em joules quando
está em
,
em
e
em
.
- Substituindo:
Calculo
primeiro:
Agora divido por
:
Arredondando:
- Converter para elétron-volts:
Dividindo as mantissas e ajustando expoentes:
Passo 4
Cálculo da indeterminação do momento do elétron usando o princípio de incerteza de Heisenberg.
- Aula curta: o princípio de incerteza de Heisenberg para posição e momento diz que, para as incertezas típicas,
Aqui
é a incerteza na posição e
é a incerteza no momento;
é a constante reduzida de Planck. Essa desigualdade dá um limite inferior para
: se conhecemos
, então
- Substituindo
e :
Fazendo a divisão:
Arredondando:
- Comentário prático (rápido e amigável): note que o momento do fóton que usamos para “ver” o elétron era
, que é maior que este limite mínimo . Isso significa que um único fóton típico dessa onda poderia transferir ao elétron um impulso da ordem de , causando uma indeterminação do momento do elétron que pode ser ainda maior que o limite mínimo dado por Heisenberg. Em provas normalmente dá para usar o limite de Heisenberg como resposta, salvo se a questão pedir a indeterminação imposta pelo fóton em particular (então seria ).
Passo 5
Resumo físico e incentivo final (curto):
- Resumindo: com
obtém-se fótons com momento relativamente grande e energia na faixa de centenas de keV; para medir a posição de um elétron nessa precisão a incerteza mínima no momento é da ordem de . Dá para dar conta disso na prova: calcula , e usa . Vai dar certo — respira fundo, faz as contas com calma e manda ver!