Para determinar a posição de uma partícula usando ondas eletromagnéticas, o comprimento de onda da radiação usada deve ser no máximo da mesma ordem que a precisão desejada. Calcule o momento e a energia de um fóton com um comprimento de onda \lambda=5 \times 10^{-12} \mathrm{~m}. Se a posição de um elétron é determinada com uma precisão \Delta x=5 \times 10^{-12} \mathrm{~m}, qual é a indeterminação do momento do elétron?

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede (tudo que vai ser usado nos cálculos).
  • Dado: comprimento de onda do fóton \lambda = 5 \times 10^{-12}\\ \mathrm{m}.
  • Dado: precisão de posição do elétron \Delta x = 5 \times 10^{-12}\\ \mathrm{m}.
O enunciado pede:
  1. Calcular o momento do fóton com comprimento de onda \lambda.
  2. Calcular a energia do fóton com comprimento de onda \lambda.
  3. Calcular a indeterminação do momento do elétron \Delta p quando a posição é determinada com precisão \Delta x.
Constantes que usarei (valores numéricos padrão):
  • Constante de Planck h = 6,62607015\times10^{-34}\\ \mathrm{J\cdot s}.
  • Constante reduzida de Planck \hbar = \dfrac{h}{2\pi} \approx 1,054571817\times10^{-34}\\ \mathrm{J\cdot s}.
  • Velocidade da luz c = 2,99792458\times10^{8}\\ \mathrm{m/s}.
  • Converteção energia: 1\\ \mathrm{eV} = 1,602176634\times10^{-19}\\ \mathrm{J}.

Passo 2

Cálculo do momento do fóton: fórmula e explicação.
  • Aula curta: um fóton tem energia e momento relacionados ao seu comprimento de onda. O momento linear de um fóton (magnitude) é dado por
p = \frac{h}{\lambda}.
Aqui p é o momento do fóton em \mathrm{kg\cdot m/s}, h é a constante de Planck e \lambda é o comprimento de onda.
  • Substituindo os valores:
p = \frac{6,62607015\times10^{-34}}{5\times10^{-12}}.
Faço a conta passo a passo: divido a mantissa e subtraio os expoentes:
\frac{6,62607015}{5} = 1,32521403, \qquad 10^{-34}/10^{-12} = 10^{-22}.
Portanto
p = 1,32521403\times10^{-22}\\ \mathrm{kg\cdot m/s}.
Arredondando com três algarismos significativos:
p \approx 1,33\times10^{-22}\\ \mathrm{kg\cdot m/s}.

Passo 3

Cálculo da energia do fóton: fórmula, explicação e conversão para elétron-volts.
  • Aula curta: a energia de um fóton também pode ser escrita em função do comprimento de onda como
E = \frac{h c}{\lambda}.
Aqui E está em joules quando h está em \mathrm{J\cdot s}, c em \mathrm{m/s} e \lambda em \mathrm{m}.
  • Substituindo:
E = \frac{6,62607015\times10^{-34}\cdot 2,99792458\times10^{8}}{5\times10^{-12}}.
Calculo h c primeiro:
h c \approx 6,62607015\times10^{-34}\cdot 2,99792458\times10^{8} \approx 1,98644586\times10^{-25}\\ \mathrm{J\cdot m}.
Agora divido por \lambda:
E \approx \frac{1,98644586\times10^{-25}}{5\times10^{-12}} = 0,397289172\times10^{-13} = 3,97289172\times10^{-14}\\ \mathrm{J}.
Arredondando:
E \approx 3,98\times10^{-14}\\ \mathrm{J}.
  • Converter para elétron-volts:
E_{\mathrm{eV}} = \frac{E}{1,602176634\times10^{-19}} \approx \frac{3,9729\times10^{-14}}{1,602176634\times10^{-19}}.
Dividindo as mantissas e ajustando expoentes:
E_{\mathrm{eV}} \approx 2,48\times10^{5}\\ \mathrm{eV} = 2,48\times10^{2}\\ \mathrm{keV} = 248\\ \mathrm{keV}.

Passo 4

Cálculo da indeterminação do momento do elétron usando o princípio de incerteza de Heisenberg.
  • Aula curta: o princípio de incerteza de Heisenberg para posição e momento diz que, para as incertezas típicas,
\Delta x\,\Delta p \ge \frac{\hbar}{2}.
Aqui \Delta x é a incerteza na posição e \Delta p é a incerteza no momento; \hbar é a constante reduzida de Planck. Essa desigualdade dá um limite inferior para \Delta p: se conhecemos \Delta x, então
\Delta p \ge \frac{\hbar}{2\,\Delta x}.
  • Substituindo \hbar \approx 1,054571817\times10^{-34}\\ \mathrm{J\cdot s} e \Delta x = 5\times10^{-12}\\ \mathrm{m}:
\Delta p \ge \frac{1,054571817\times10^{-34}}{2\cdot 5\times10^{-12}} = \frac{1,054571817\times10^{-34}}{1\times10^{-11}}.
Fazendo a divisão:
\Delta p \ge 1,054571817\times10^{-23}\\ \mathrm{kg\cdot m/s}.
Arredondando:
\Delta p \gtrsim 1,05\times10^{-23}\\ \mathrm{kg\cdot m/s}.
  • Comentário prático (rápido e amigável): note que o momento do fóton que usamos para “ver” o elétron era p_{\text{fóton}}\approx 1,33\times10^{-22}\\ \mathrm{kg\cdot m/s}ó, que é maior que este limite mínimo \Delta p. Isso significa que um único fóton típico dessa onda poderia transferir ao elétron um impulso da ordem de p_{\text{fóton}}ó, causando uma indeterminação do momento do elétron que pode ser ainda maior que o limite mínimo dado por Heisenberg. Em provas normalmente dá para usar o limite de Heisenberg como resposta, salvo se a questão pedir a indeterminação imposta pelo fóton em particular (então seria p_{\text{fóton}}ó).

Passo 5

Resumo físico e incentivo final (curto):
  • Resumindo: com \lambda=5\times10^{-12}\\ \mathrm{m} obtém-se fótons com momento relativamente grande e energia na faixa de centenas de keV; para medir a posição de um elétron nessa precisão a incerteza mínima no momento é da ordem de 10^{-23}\\ \mathrm{kg\cdot m/s}. Dá para dar conta disso na prova: calcula p=h/\lambda, E=hc/\lambda e usa \Delta p \ge \hbar/(2\Delta x). Vai dar certo — respira fundo, faz as contas com calma e manda ver!

Resposta

p_{\text{fóton}} \approx 1,33\times10^{-22}\\ \mathrm{kg\cdot m/s}ó
E_{\text{fóton}} \approx 3,98\times10^{-14}\\ \mathrm{J} \approx 2,48\times10^{5}\\ \mathrm{eV}\\ (248\\ \mathrm{keV})ó
\Delta p_{\text{elétron}} \gtrsim 1,05\times10^{-23}\\ \mathrm{kg\cdot m/s}é

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