Usando lasers, é possível produzir pulsos luminosos com alguns femtossegundos de duração. Esses pulsos são tão curtos que não é possível associar uma cor específica ao pulso. Para verificar que isso é verdade, calcule a duração de um pulso de laser cujo intervalo de frequências cobre toda a faixa do espectro visível (de 4,0 \times 10^{14} Hz a 7,5 \times 10^{14} \mathrm{~Hz} ).

Passo 1

O enunciado dá o intervalo de frequências que o pulso ocupa e pede a duração típica desse pulso. Informação dada:
  • Frequência mínima: \nu_{\min}=4,0\times10^{14}\\ \text{Hz}.
  • Frequência máxima: \nu_{\max}=7,5\times10^{14}\\ \text{Hz}.
O que queremos calcular: a duração temporal típica do pulso, que vou chamar de \Delta t.

Passo 2

Explicando a ideia física (com calma e sem jargões): um pulso muito curto no tempo precisa conter muitas frequências diferentes para ser formado — isso é uma consequência matemática das transformadas de Fourier. Em palavras simples: quanto maior a “largura de banda” em frequência, menor pode ser a duração do pulso. Para estimativas de ordem de grandeza usamos a relação entre a largura de banda em frequência \Delta \nu e a duração aproximada \Delta t. Uma forma simples e prática dessa relação é
\Delta t \approx \frac{1}{\Delta \nu},
onde
  • \Delta \nu é a largura de banda em hertz (Hz), isto é, a diferença entre a maior e a menor frequência que o pulso contém;
  • \Delta t é a duração característica do pulso em segundos (s).
Observação didática: essa fórmula dá a escala temporal correta (ordem de magnitude). Há fatores numéricos que dependem da forma do pulso (por exemplo, para pulso gaussiano usa-se \Delta t\,\Delta \nu \approx 0,44), mas para verificar que o tempo fica na escala de femtossegundos a aproximação \Delta t\approx1/\Delta\nu é suficiente e simples de aplicar numa prova.

Passo 3

Calcular a largura de banda \Delta \nu a partir dos dados:
\Delta \nu = \nu_{\max}-\nu_{\min} = (7,5\times10^{14})-(4,0\times10^{14}) = 3,5\times10^{14}\\ \text{Hz}.

Passo 4

Aplicar a estimativa \Delta t \approx 1/\Delta \nu:
\Delta t \approx \frac{1}{3,5\times10^{14}}\\ \text{s}.
Fazendo a conta:
\Delta t \approx 2,857142857\times10^{-15}\\ \text{s}\approx 2,9\times10^{-15}\\ \text{s}.
Convertendo para femtossegundos (lembrando que 1\\ \text{fs}=10^{-15}\\ \text{s}):
\Delta t \approx 2,9\\ \text{fs}.

Passo 5

Interpretação final e comentário encorajador: o resultado mostra que um pulso que ocupa toda a faixa visível teria duração da ordem de alguns femtossegundos. Isso é tão curto que o pulso não tem uma frequência (ou cor) bem definida — ele é broadband. Se quiseres uma estimativa mais refinada usando a forma do pulso: para um pulso com perfil gaussiano pode-se usar \Delta t\,\Delta \nu\approx0,44, o que daria \Delta t\approx0,44/(3,5\times10^{14})\approx1,3\\ \text{fs}; ainda assim estamos na escala de femtossegundos. Então a conclusão qualitativa (pulso muito curto, sem cor única) fica sólida.

Resposta

\,2,9\times10^{-15}\\ \text{s}\approx2,9\\ \text{fs}

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