A função de onda de uma partícula que se move em uma dimensão entre duas paredes separadas por uma distância
é
. Supondo que a partícula não pode deixar a região entre as paredes, qual é o valor de
?
Passo 1
O enunciado dá a função de onda
e diz que a partícula não pode sair da região entre as paredes. Isso implica que a função de onda vale zero fora do intervalo
e que devemos normalizá-la dentro desse intervalo. A pergunta é: qual é o valor da constante de normalização
?
Passo 2
Conceito importante (o que vamos usar): a probabilidade total de encontrar a partícula em todo o espaço deve ser
. Como a partícula está confinada em
, isso vira a condição de normalização
Aqui
é a densidade de probabilidade; se
for complexa, usa-se o módulo ao quadrado, mas neste caso
é real salvo um possível fator constante complexo.
Passo 3
Substituindo
na condição de normalização obtemos
Como
não depende de
, pode-se tirar
fora da integral:
Passo 4
Vamos calcular a integral
Usando a identidade trigonométrica
, temos
Agora integramos termo a termo:
A primeira integral é simplesmente
. A segunda pode ser feita por substituição ou reconhecendo que a primitiva de
é
. Avaliando entre
e
dá zero, porque
. Então
Passo 5
Voltando à condição de normalização,
Logo
Isso significa que o módulo de
é
. A constante
pode ainda ter um fator de fase complexo com módulo
(por exemplo
ou
), mas normalmente escolhemos
real e positivo para simplificar.
Passo 6
Portanto a escolha usual para a constante de normalização é
Pronto — com isso a função
está normalizada em
. Força aí na prova, você já tem a técnica pronta: tirar constantes, usar identidade trigonométrica e lembrar que integrais de senos/cossenos completos dão zero.