A função de onda de uma partícula que se move em uma dimensão entre duas paredes separadas por uma distância L é \Psi(x)=A \sin (\pi x / L). Supondo que a partícula não pode deixar a região entre as paredes, qual é o valor de A ?

Passo 1

O enunciado dá a função de onda \Psi(x)=A \sin\!\left(\dfrac{\pi x}{L}\right) e diz que a partícula não pode sair da região entre as paredes. Isso implica que a função de onda vale zero fora do intervalo [0,L] e que devemos normalizá-la dentro desse intervalo. A pergunta é: qual é o valor da constante de normalização A?

Passo 2

Conceito importante (o que vamos usar): a probabilidade total de encontrar a partícula em todo o espaço deve ser 1. Como a partícula está confinada em [0,L], isso vira a condição de normalização
\int_{0}^{L} |\Psi(x)|^{2}\,dx = 1.
Aqui |\Psi(x)|^{2} é a densidade de probabilidade; se \Psi for complexa, usa-se o módulo ao quadrado, mas neste caso \Psi é real salvo um possível fator constante complexo.

Passo 3

Substituindo \Psi(x)=A \sin\!\left(\dfrac{\pi x}{L}\right) na condição de normalização obtemos
\int_{0}^{L} |A|^{2}\sin^{2}\!\left(\dfrac{\pi x}{L}\right)\,dx = 1.
Como A não depende de x, pode-se tirar |A|^{2} fora da integral:
|A|^{2}\int_{0}^{L}\sin^{2}\!\left(\dfrac{\pi x}{L}\right)\,dx = 1.

Passo 4

Vamos calcular a integral
I=\int_{0}^{L}\sin^{2}\!\left(\dfrac{\pi x}{L}\right)\,dx.
Usando a identidade trigonométrica \sin^{2}\theta=\dfrac{1-\cos(2\theta)}{2}, temos
I=\frac{1}{2}\int_{0}^{L}\left[1-\cos\!\left(\dfrac{2\pi x}{L}\right)\right]dx.
Agora integramos termo a termo:
I=\frac{1}{2}\left[\int_{0}^{L}1\,dx - \int_{0}^{L}\cos\!\left(\dfrac{2\pi x}{L}\right)dx\right].
A primeira integral é simplesmente L. A segunda pode ser feita por substituição ou reconhecendo que a primitiva de \cos\!\left(\dfrac{2\pi x}{L}\right) é \dfrac{L}{2\pi}\sin\!\left(\dfrac{2\pi x}{L}\right). Avaliando entre 0 e L dá zero, porque \sin(2\pi)=\sin(0)=0. Então
I=\frac{1}{2}\bigl(L-0\bigr)=\frac{L}{2}.

Passo 5

Voltando à condição de normalização,
|A|^{2}\cdot \frac{L}{2} = 1.
Logo
|A|^{2}=\frac{2}{L}.
Isso significa que o módulo de A é \sqrt{2/L}. A constante A pode ainda ter um fator de fase complexo com módulo 1 (por exemplo -1 ou e^{i\varphi}), mas normalmente escolhemos A real e positivo para simplificar.

Passo 6

Portanto a escolha usual para a constante de normalização é
A=\sqrt{\dfrac{2}{L}}.
Pronto — com isso a função \Psi(x)=\sqrt{2/L}\,\sin\!\left(\dfrac{\pi x}{L}\right) está normalizada em [0,L]. Força aí na prova, você já tem a técnica pronta: tirar constantes, usar identidade trigonométrica e lembrar que integrais de senos/cossenos completos dão zero.

Resposta

A=\sqrt{\dfrac{2}{L}}

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