Determinar a posição relativa entre as retas r:\left\{\begin{array}{l}x=2+4 t \\\ y=-1+t \\\ z=3-2 t\end{array} \quad t \in \mathbb{R} \quad\right. e s:\left\{\begin{array}{l}x=5+t \\\ y=2-2 t \\\ z=-1+2 t\end{array} \quad t \in \mathbb{R}\right.
Passo 1
O enunciado dá duas retas em \mathbb{R}^3 por equações paramétricas:
Queremos saber se elas são paralelas, coincidentes, concorrentes (secantes) ou cruzadas (reversas). Para isso vamos usar vetores diretores e resolver um sistema para ver se há interseção.
Passo 2
Extraímos os vetores diretores \mathbf{v}_r=(4,1,-2) para r e \mathbf{v}_s=(1,-2,2) para s.
Para serem paralelas ou coincidentes, precisa existir \lambda tal que
\mathbf{v}_r=\lambda\,\mathbf{v}_s.
Se tentarmos \lambda pelo primeiro componente, \lambda=4 daria (4,-8,8), que não bate com (4,1,-2).
Logo \mathbf{v}_r e \mathbf{v}_s não são colineares, as retas não são paralelas.
Passo 3
Como não são paralelas, ou se cruzam ou são reversas. Para ver se se cruzam, igualamos as coordenadas de r(t) e s(u):