Determinar a posição relativa entre as retas r:\left\{\begin{array}{l}x=2+4 t \\\ y=-1+t \\\ z=3-2 t\end{array} \quad t \in \mathbb{R} \quad\right. e s:\left\{\begin{array}{l}x=5+t \\\ y=2-2 t \\\ z=-1+2 t\end{array} \quad t \in \mathbb{R}\right.

Passo 1

O enunciado dá duas retas em \mathbb{R}^3 por equações paramétricas:
r:\begin{cases} x=2+4t,\\\ y=-1+t,\\\ z=3-2t, \end{cases}\quad t\in\mathbb{R} \quad\text{e}\quad s:\begin{cases} x=5+u,\\\ y=2-2u,\\\ z=-1+2u, \end{cases}\quad u\in\mathbb{R}.
Queremos saber se elas são paralelas, coincidentes, concorrentes (secantes) ou cruzadas (reversas). Para isso vamos usar vetores diretores e resolver um sistema para ver se há interseção.

Passo 2

Extraímos os vetores diretores \mathbf{v}_r=(4,1,-2) para r e \mathbf{v}_s=(1,-2,2) para s.
Para serem paralelas ou coincidentes, precisa existir \lambda tal que
\mathbf{v}_r=\lambda\,\mathbf{v}_s.
Se tentarmos \lambda pelo primeiro componente, \lambda=4 daria (4,-8,8), que não bate com (4,1,-2).
Logo \mathbf{v}_r e \mathbf{v}_s não são colineares, as retas não são paralelas.

Passo 3

Como não são paralelas, ou se cruzam ou são reversas. Para ver se se cruzam, igualamos as coordenadas de r(t) e s(u):
\begin{cases} 2+4t = 5 + u,\\\\ -1+t = 2 - 2u,\\\\ 3 - 2t = -1 + 2u. \end{cases}

Passo 4

Resolvendo o sistema
  1. 4t - u = 3.
  2. t + 2u = 3.
  3. -2t -2u = -4.
    Da equação 3) vem t+u=2. Subtraindo de 2) t+2u=3 obtemos u=1.
    Então t+1=2 t=1. Esses valores satisfazem também a equação 1).

Passo 5

Com t=1 e u=1 o ponto comum é
r(1) = \bigl(2+4\cdot1,\,-1+1,\;3-2\cdot1\bigr)=(6,0,1).
Verifica-se que s(1) também dá (6,0,1). Portanto as retas se cruzam nesse ponto.

Resposta

As retas r e s são secantes e intersectam-se em \,(6,0,1).

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