(a) Mostre que a distância entre um ponto S e uma reta passando por P paralela a \vec{v} é
d=\frac{\|\overrightarrow{P S} \times \vec{v}\|}{\|\vec{v}\|}
(b) Encontre a distância do ponto S=(1,1,5) à reta r:\left\{\begin{array}{l}x=1+t \\\ y=3-t \\\ z=2 t\end{array} \quad t \in \mathbb{R}\right.

Passo 1

O enunciado pede
(a) mostrar que a distância de um ponto S a uma reta que passa por P e tem direção \vec v é
d=\frac{\|\overrightarrow{PS}\times\vec v\|}{\|\vec v\|},
e
(b) calcular essa distância para S=(1,1,5) e a reta
r:\begin{cases} x=1+t,\\\ y=3-t,\\\ z=2t \end{cases}\quad t\in\mathbb{R}.
A matéria envolve geometria analítica no espaço, produto vetorial e comprimento de vetores.

Passo 2

Para (a), considere o vetor \overrightarrow{PS} ligando P a S. O produto vetorial \|\overrightarrow{PS}\times\vec v\| dá a área do paralelogramo com lados \overrightarrow{PS} e \vec v. Assim,
\|\overrightarrow{PS}\times\vec v\| =\|\overrightarrow{PS}\|\;\|\vec v\|\sin\theta,
onde \theta é o ângulo entre \overrightarrow{PS} e \vec v. A altura desse paralelogramo em relação à base de comprimento \|\vec v\| é precisamente a distância d.

Passo 3

Da relação de área do paralelogramo, temos
\|\overrightarrow{PS}\times\vec v\|=\|\vec v\|\;d
e, isolando d,
d=\frac{\|\overrightarrow{PS}\times\vec v\|}{\|\vec v\|}.

Passo 4

Para (b), identifique na reta um ponto P (tomando t=0) e o vetor diretor \vec v:
P=(1,3,0), \quad \vec v=(1,-1,2).
Então
\overrightarrow{PS}=(1-1,\;1-3,\;5-0)=(0,-2,5).

Passo 5

Calcule o produto vetorial:
\overrightarrow{PS}\times\vec v =\begin{vmatrix} \mathbf{i}&\mathbf{j}&\mathbf{k}\\\\ 0&-2&5\\\\ 1&-1&2 \end{vmatrix} =(1,5,2).
Logo,
\|\overrightarrow{PS}\times\vec v\|=\sqrt{1^2+5^2+2^2}=\sqrt{30}, \quad \|\vec v\|=\sqrt{1^2+(-1)^2+2^2}=\sqrt{6},
e
d=\frac{\sqrt{30}}{\sqrt{6}}=\sqrt{5}.

Resposta

(a) \displaystyle d=\frac{\|\overrightarrow{PS}\times\vec v\|}{\|\vec v\|}.
(b) \sqrt{5}.

Exercícios relacionados