(a) Mostre que a distância entre um ponto S e uma reta passando por P paralela a \vec{v} é
d=\frac{\|\overrightarrow{P S} \times \vec{v}\|}{\|\vec{v}\|}
(b) Encontre a distância do ponto S=(1,1,5) à reta r:\left\{\begin{array}{l}x=1+t \\\ y=3-t \\\ z=2 t\end{array} \quad t \in \mathbb{R}\right.

Passo 1

O enunciado tem duas partes. Na (a) queremos mostrar, usando geometria vetorial, que a distância d entre um ponto S e a reta que passa por P com direção \vec v é
d = \frac{\|\overrightarrow{PS}\times\vec v\|}{\|\vec v\|}.
O conteúdo é distância ponto-reta em \mathbb R^3 e usaremos a interpretação da área do paralelogramo gerado pelos vetores \overrightarrow{PS} e \vec v. Na (b) aplicaremos essa fórmula para S=(1,1,5) e a reta r\colon x=1+t,\;y=3-t,\;z=2t.

Passo 2

Considere o vetor \overrightarrow{PS} = \overrightarrow{S}-\overrightarrow{P}. O paralelogramo de lados \overrightarrow{PS} e \vec v tem área igual a
\text{Área} = \|\overrightarrow{PS}\times\vec v\|.Á
Por outro lado, geometrica­mente essa área também vale a base vezes a altura, ou seja,
\text{Área} = \|\vec v\|\;d,Á
onde d é justamente a distância (altura) do ponto S à reta.

Passo 3

Igualando as duas expressões da área, vem
\|\overrightarrow{PS}\times\vec v\| = \|\vec v\|\;d,
e isolando d obtemos
d = \frac{\|\overrightarrow{PS}\times\vec v\|}{\|\vec v\|},
que é o que se queria mostrar.

Passo 4

Para aplicar em (b), note que na reta r podemos tomar o ponto P=(1,3,0) (obtido com t=0) e a direção \vec v=(1,-1,2). Para S=(1,1,5) temos
\overrightarrow{PS} = (1,1,5)-(1,3,0) = (0,-2,5).
Calcule o produto vetorial:
\overrightarrow{PS}\times\vec v = \begin{vmatrix} \mathbf i & \mathbf j & \mathbf k\\\\ 0 & -2 & 5\\\\ 1 & -1 & 2 \end{vmatrix} = (1,5,2).
Então
\|\overrightarrow{PS}\times\vec v\| = \sqrt{1^2+5^2+2^2} = \sqrt{30}, \quad \|\vec v\| = \sqrt{1^2+(-1)^2+2^2} = \sqrt{6}.

Passo 5

Substituindo na fórmula da distância,
d = \frac{\sqrt{30}}{\sqrt{6}} = \sqrt{\frac{30}{6}} = \sqrt{5}.

Resposta

(a) \displaystyle d=\frac{\|\overrightarrow{PS}\times\vec v\|}{\|\vec v\|}.
(b) \displaystyle d=\sqrt{5}.

Exercícios relacionados