1. Determinar a potência máxima (em CV ) que pode ser transmitida por um eixo de 8 cm de diâmetro que gira a 400 rpm . Considerar tensão de escoamento igual a 3000 \mathrm{kgf} / \mathrm{cm}^{2} e coeficiente de segurança segundo a teoria de Guest igual a 3.

Passo 1

Vou organizar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • Dados fornecidos:
    • Diâmetro do eixo: d=8\\ \mathrm{cm}.
    • Velocidade de rotação: n=400\\ \mathrm{rpm}.
    • Tensão de escoamento: \sigma_e=3000\\ \mathrm{kgf/cm^2}.
    • Coeficiente de segurança segundo a teoria de Guest (Tresca): S=3.
  • O que a questão pede:
    • Determinar a potência máxima que pode ser transmitida pelo eixo, expressa em CV.

Passo 2

Entendendo a física e a teoria necessária (explicação didática).
  • Um eixo transmitindo potência por torção sofre tensão cortante (cisalhamento). A tensão cortante máxima na superfície de um eixo circular submetido a um torque T é dada por:
\tau_{\max}=\frac{T\,c}{J},
onde:
  • T é o torque (momento torçor) aplicado (unidade SI: \mathrm{N\cdot m});
  • c é o raio externo do eixo (para diâmetro d, c=\dfrac{d}{2});
  • J é o momento polar de inércia da seção circular, que vale \displaystyle J=\frac{\pi d^{4}}{32}.
  • Substituindo c e J na fórmula acima (uma manipulação algébrica importante a memorizar), obtemos a forma prática:
\tau_{\max}=\frac{16\,T}{\pi d^{3}}.
Esta fórmula é muito utilizada em problemas de eixo circular.
  • Critério de Tresca (Guest): o escoamento começa quando a máxima tensão de cisalhamento atinge metade da tensão de escoamento em tração. Para incluir o coeficiente de segurança S, a tensão de cisalhamento admissível é:
\tau_{\text{adm}}=\frac{\sigma_e}{2\,S}.
Significado: divide-se \sigma_e por 2 porque Tresca relaciona que a tensão de cisalhamento crítica é metade da tensão de escoamento em tração; divide-se por S para garantir a segurança.
  • Estratégia prática: calcular \tau_{\text{adm}}, igualá-la a \tau_{\max} para obter o torque máximo admissível T_{\max}, então usar P=T\omega (com \omega em rad/s) para obter a potência máxima. Converter o resultado para CV.

Passo 3

Converter unidades e calcular a tensão de cisalhamento admissível \tau_{\text{adm}}.
  • Primeiro converter \sigma_e de \mathrm{kgf/cm^2} para \mathrm{Pa} (N/m^2). Lembrando:
    • 1\\ \mathrm{kgf}=9{,}80665\\ \mathrm{N}.
    • 1\\ \mathrm{cm^2}=10^{-4}\\ \mathrm{m^2}.
  • Portanto:
\sigma_e=3000\\ \frac{\mathrm{kgf}}{\mathrm{cm^2}}=3000\cdot\frac{9{,}80665\\ \mathrm{N}}{10^{-4}\\ \mathrm{m^2}}=3{,}000\cdot9{,}80665\cdot10^{4}\\ \mathrm{Pa}.
\sigma_e=2{,}941995\times10^{8}\\ \mathrm{Pa}\quad(\text{ou }294{,}20\\ \mathrm{MPa}).
  • Tensão de cisalhamento admissível:
\tau_{\text{adm}}=\frac{\sigma_e}{2S}=\frac{2{,}941995\times10^{8}}{2\cdot3}=4{,}903325\times10^{7}\\ \mathrm{Pa}.
\tau_{\text{adm}}=4{,}903325\times10^{7}\\ \mathrm{Pa}\quad(\text{ou }49{,}03\\ \mathrm{MPa}).

Passo 4

Expressar o torque máximo T_{\max} a partir de \tau_{\text{adm}}.
  • Da relação \tau_{\max}=\dfrac{16T}{\pi d^{3}}, isolamos T:
T=\frac{\pi d^{3}}{16}\,\tau_{\max}.
  • Usar d em metros: d=8\\ \mathrm{cm}=0{,}08\\ \mathrm{m}.
  • Calcular d^{3}:
d^{3}=(0{,}08)^{3}=0{,}000512\\ \mathrm{m^{3}}.
  • Calcular o fator \dfrac{\pi d^{3}}{16}:
\frac{\pi d^{3}}{16}=\frac{\pi}{16}\cdot0{,}000512=0{,}00010053099\\ \mathrm{m^{3}}.

Passo 5

Calcular o torque máximo numérico T_{\max}.
  • Aplicando os números:
T_{\max}=\left(0{,}00010053099\right)\cdot\left(4{,}903325\times10^{7}\right)\\ \mathrm{N\cdot m}.
  • Resultado:
T_{\max}=4{,}930{,}36\\ \times10^{3}\\ \mathrm{N\cdot m}=4{,}930{,}36\\ \mathrm{N\cdot m}.
(ou seja, aproximadamente 4930{,}36\\ \mathrm{N\cdot m}).

Passo 6

Calcular a potência máxima P_{\max} em watts e depois converter para CV.
  • Primeiro a velocidade angular:
\omega=2\pi\frac{n}{60}=2\pi\frac{400}{60}=41{,}887902\\ \mathrm{rad/s}.
  • Potência em watts:
P_{\max}=T_{\max}\,\omega=4930{,}36\cdot41{,}887902=2{,}06524\times10^{5}\\ \mathrm{W}.
P_{\max}\approx206524\\ \mathrm{W}.
  • Converter para CV usando 1\\ \mathrm{CV}=735{,}49875\\ \mathrm{W}:
P_{\max\\ (CV)}=\frac{206524}{735{,}49875}\approx280{,}96\\ \mathrm{CV}.

Passo 7

Arredondamento final e comentário motivador.
  • Arredondando para um número prático, a potência máxima que pode ser transmitida é aproximadamente 281\\ \mathrm{CV}.
  • Observação prática: esse cálculo é idealizado (considera só torção pura e material homogêneo). Em projeto real costuma-se verificar concentração de tensões, descontinuidades, fadiga, ajuste de chaves, etc. Mas para prova e dimensionamento inicial este procedimento é o correto segundo a teoria de Guest (Tresca).

Resposta

281 CV

Exercícios relacionados