1. Localize o centro de massa (\bar{x}, \bar{y}) dos quatro pontos materiais.

Passo 1

O que o problema pede: localizar o centro de massa (\bar{x},\bar{y}) dos quatro pontos materiais dados na figura.
Informações relevantes (peguei estes números da imagem enviada):
  • Existem quatro massas pontuais com valores: m_1=2\\ \text{kg}, m_2=1\\ \text{kg}, m_3=2\\ \text{kg} e m_4=5\\ \text{kg}.
  • As coordenadas (no plano xy) usadas para cada massa, extraídas da figura, são:
    • Massa m_1 em (x_1,y_1)=(-2,\,-2)\\ \text{m}.
    • Massa m_2 em (x_2,y_2)=(0,\;3)\\ \text{m}.
    • Massa m_3 em (x_3,y_3)=(1,\;2)\\ \text{m}.
    • Massa m_4 em (x_4,y_4)=(3,\;4)\\ \text{m}.
(O enunciado pede o par (\bar{x},\bar{y}). A resolução começa agora.)

Passo 2

Fórmulas que vamos usar e o que cada símbolo significa:
  • A coordenada x do centro de massa é dada por
\bar{x}=\frac{\sum_{i=1}^{4} m_i x_i}{\sum_{i=1}^{4} m_i},
onde m_i é a massa do ponto i e x_i é a coordenada x desse ponto.
  • A coordenada y do centro de massa é dada por
\bar{y}=\frac{\sum_{i=1}^{4} m_i y_i}{\sum_{i=1}^{4} m_i},
onde y_i é a coordenada y do ponto i.
Explicando em palavras: para encontrar \bar{x} e \bar{y} fazemos a média ponderada das coordenadas, ponderando por cada massa. A soma das massas no denominador normaliza a média.

Passo 3

Calcular a massa total:
M=\sum_{i=1}^{4} m_i = m_1+m_2+m_3+m_4 = 2+1+2+5 = 10\\ \text{kg}.

Passo 4

Calcular \sum m_i x_i. Vamos multiplicar cada massa pela sua coordenada x e somar, mostrando cada termo:
\begin{aligned} \sum_{i=1}^{4} m_i x_i &= m_1 x_1 + m_2 x_2 + m_3 x_3 + m_4 x_4 \\\ &= 2\cdot(-2) + 1\cdot 0 + 2\cdot 1 + 5\cdot 3 \\\ &= -4 + 0 + 2 + 15 \\\ &= 13. \end{aligned}

Passo 5

Agora calculamos \bar{x} usando a fórmula da média ponderada:
\bar{x}=\frac{\sum m_i x_i}{M}=\frac{13}{10}=1,3\\ \text{m}.
(Escrevendo com duas casas como no enunciado: \bar{x}=1,30\\ \text{m}.)

Passo 6

Calcular \sum m_i y_i. Multiplicar cada massa pela sua coordenada y e somar:
\begin{aligned} \sum_{i=1}^{4} m_i y_i &= m_1 y_1 + m_2 y_2 + m_3 y_3 + m_4 y_4 \\\ &= 2\cdot(-2) + 1\cdot 3 + 2\cdot 2 + 5\cdot 4 \\\ &= -4 + 3 + 4 + 20 \\\ &= 23. \end{aligned}

Passo 7

Calcular \bar{y}:
\bar{y}=\frac{\sum m_i y_i}{M}=\frac{23}{10}=2,3\\ \text{m}.
(Escrevendo com duas casas: \bar{y}=2,30\\ \text{m}.)

Passo 8

Interpretação final curta e incentivo: o centro de massa fica deslocado para a direita e para cima em relação a O porque a maior massa ( 5\\ \text{kg}) está localizada no quadrante positivo e puxa a média nessa direção. Boa! Essa técnica de média ponderada é o que cai sempre nas provas: multiplica massa × coordenada, soma e divide pela massa total — memorize e pratique com outros exemplos rápidos.

Resposta

\bar{x}=1,30\\ \text{m}
\bar{y}=2,30\\ \text{m}

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